Deje $V=\{0,1\}^{\mathbb{Z}}$ ser equipado con la topología producto. Para $k\in\mathbb{Z}$ deje $T^k:V\rightarrow V$ ser el cambio-por-$k$-operador, de manera que $$T^k((x_j)_{j\in\mathbb{Z}}):=(x_{j+k})_{j\in\mathbb{Z}}.$$ Dos elementos $x,y\in V$ son llamados equivalente (denotado por $x\sim y$) iff hay un $k\in\mathbb{Z}$ tal que $T^k(x)=y$. ¿Cuál es el cociente del espacio de $V$ con respecto al $\sim$, lo que es homeomórficos?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
DiGi
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Esta no es una respuesta, pero darle un poco de perspectiva en el espacio.
Para $x\in V$ deje $[x]$ $\sim$- clase de equivalencia de a $x$, y deje $\pi:V\to V/{\sim}:x\mapsto[x]$ ser el cociente mapa. Supongamos que $B$ es un básico conjunto abierto en $V$, es decir, uno que especifica los valores en algún conjunto finito de índices. Entonces
$$\pi^{-1}\big[\pi[B]\big]=\bigcup_{k\in\Bbb Z}T^k[B]\;,$$
que está abierto en $V$, lo $\pi$ es una carta abierta.
Deje $x,y\in V$, y supongamos que $x$ tiene un número finito de la subcadena que no es una subcadena de $y$. Deje $B$ básico para abrir nbhd de $x$ determinado por esta subcadena. Entonces no hay cambio de $y$$B$, lo $y\notin\pi^{-1}\big[\pi[B]\big]$, y, por tanto,$[y]\notin\pi[B]$. Es decir, $\pi[B]$ es una nbhd de $[x]$ que no contenga $y$.
Ahora supongamos que cada finito subcadena de $x$ es también finita subcadena de $y$, y deje $U$ libre nbhd de $[x]$. Hay un abierto básicos nbhd $B$ $x$ tal que $\pi[B]\subseteq U$. Esta $B$ está determinado por algún finito subcadena de $x$, por lo que por hipótesis de $T^k(y)\in B$ para algunos $k\in\Bbb Z$, $y\in\pi^{-1}\big[\pi[B]\big]$, y, por tanto,$[y]\in\pi[B]\subseteq U$. Es decir, todos los abiertos nbhd de $[x]$ contiene $[y]$. Ahora tenemos el siguiente resultado:
Para cualquier $x,y\in V$, $[x]$ ha abierto nbhd que no contenga $[y]$ si y sólo si $x$ tiene un número finito de la subcadena que no aparece en $y$.
Claramente $V/{\sim}$ no $T_1$, y de hecho ni siquiera es $T_0$. Deje $x\in V$ ser cualquier bisequence que tiene cada finito cadena binaria como una larga y deje $y$ ser el complemento de bisequence: $y_n=1-x_n$ por cada $n\in\Bbb Z$. Claramente $x$ $y$ tienen exactamente el mismo finito subcadenas. Supongamos que $x\sim y$; luego hay un $k\in\Bbb Z$ tal que $y=T^k(x)$, por lo que el $y_i=x_{i+k}$ por cada $i\in\Bbb Z$. Por la hipótesis de que hay un $n\in\Bbb Z$ tal que $x_i=0$$i=n,\ldots,n+k$. Pero, a continuación,
$$1=1-x_n=y_n=x_{n+k}=0\;,$$
lo cual es absurdo. Por lo tanto, $[x]\ne[y]$, y ninguna de las $[x]$ ni $[y]$ tiene un abrir nbhd separa de las otras.
