¿Es un conjunto discreto dentro de un espacio compacto necesariamente finito?

Question

¿Es cierto que si $A$ es discreto como subespacio de $X$ et $X \;$ es compacto, entonces $A$ ¿es finito?

Si esto no se cumple, ¿entonces se cumple para $X\;$ ¿Múltiple?

Answer 1

No es cierto en general. Sea $X = \{0\}\cup\{2^{-n}:n\in\mathbb{N}\}$ con la topología heredada de $\mathbb{R}$ Entonces $X$ es compacto, y $X\setminus \{0\}$ es un subconjunto discreto infinito de $X$ . Por supuesto, cada cerrado subconjunto discreto de un espacio compacto es finito, por lo que los subconjuntos discretos infinitos no serán cerrados, pero en general existirán. Por ejemplo, el espacio $X$ que acabamos de describir puede incrustarse en cualquier espacio métrico compacto infinito.

Answer 2

Tomemos el subespacio $\{0\}\cup\{\frac1n; n\in\mathbb N\}$ de la línea real. Es compacto y contiene un subespacio discreto infinito $\{\frac1n; n\in\mathbb N\}$ .

Se puede construir un ejemplo similar como un subespacio del círculo unitario, así que esto falla también para los colectores. (Basta con hacer un cociente de $[0,1]$ identificando cero y uno, lo que deja el subespacio anterior sin cambios).

De forma más general, para un espacio discreto arbitrario se puede construir un compactación

Answer 3

Abramodj: Sólo quiero señalar que subconjunto discreto cerrado de un espacio compacto es finito es consecuencia de un hecho más general que un espacio discreto es compacto si es finito. Ahora bien, como el subconjunto cerrado de un espacio compacto es compacto, entonces el subconjunto discreto cerrado de un espacio compacto es compacto y por tanto finito.

Answer 4

Los conjuntos unitarios son abiertos, su unión es una cubierta para X, así que esta es la cubierta que no tiene una subcubierta, por lo tanto X no es compacto.