Cómo unificar varios teoremas de reconstrucción (Gabriel-Rosenberg, Tannaka,Balmers)

Question

De lo que hablo es de los teoremas de reconstrucción para el esquema conmutativo y el grupo de la categoría. Permítanme elaborar un poco. (No soy un experto, si he cometido un error, siéntase libre de corregirme)

Reconstrucción de esquemas conmutativos

Dado un esquema conmutativo cuasi compacto y cuasi separado $(X,O_{X})$ (en realidad, el cuasi compacto no es necesario), podemos reconstruir el esquema a partir de $Qcoh(X)$ como categoría de láminas cuasi coherentes sobre $(X,O_{X})$ . Este es el teorema de Gabriel-Rosenberg. Permítanme esbozar el enunciado de este teorema que llevó a la pregunta que quiero hacer:

La reconstrucción puede tomarse como una realización geométrica de $Qcoh(X)$ (categoría abeliana). Sea $C_X$ = $Qcoh(X)$ . Definimos el espectro de $C_X$ y denotarlo por $Spec(X)$

(Por ejemplo, si $C_X=R-mod$ .donde $R$ es un anillo conmutativo, entonces $Spec(X)$ coincide con el espectro primo $Spec(R)$ ). Podemos definir la topología de Zariski en $Spec(X)$ tenemos conjuntos abiertos respecto a la topología de Zariski. Entonces tenemos un pseudofuntor contravariante de la categoría de conjuntos abiertos de Zariski del espectro $Spec(X)$ a $Cat$ , $U\rightarrow C_{X}/S_{U}$ donde $U$ es el conjunto abierto de Zariski de $Spec(X)$ y $S_U=\bigcap_{Q\in U}^{ }\hat{Q}$

(Nota: $Spec(X)$ es un conjunto de subcategorías de $C_{X}$ satisfaciendo algunas condiciones, así que aquí, $Q$ es una subcategoría que pertenece al conjunto abierto $U$ y $\hat{Q}$ =unión de todas las subcategorías topologizantes de $C_{X}$ que no contienen $Q$ .)

Para cada incrustación: $V\rightarrow U$ tenemos el functor de localización de la correspondencia: $C_{X}/S_{U}\rightarrow C_{X}/S_{V}$ . Entonces tenemos categoría de fibras sobre la topología de Zariski de $Spec(X)$ por lo que hemos dado una realización geométrica de $Qcoh(X)$ como pila de categoría local, lo que significa que la fibra (tallo) en cada punto $Q$ ,

$colim_{Q\in U} C_{X}/S_{U}$ = $C_{X}/\hat{Q}$ es una categoría local.

Centro geométrico Zariski

Definir un functor $O_{X}$ : $Open(Spec(X))\rightarrow CRings$

$U|\rightarrow End(Id_{C_{X}/S_{U}})$

Es fácil demostrar que $O_{X}$ es una preforma de anillos conmutativos en $Spec(X)$ , entonces el centro geométrico de Zariski se define como $(Spec(X),\hat{O_{X}})$ donde $\hat{O_{X}}$ es la gavilla asociada de $O_{X}$ .

Teorema :

Dado X \= $(\mathfrak{X},O_{\mathfrak{X}})$ un esquema conmutativo cuasi compacto y cuasi separado. Entonces el esquema X es isomorfo al centro geométrico de Zariski de $C_X=Qcoh(X)$ . Si denotamos la categoría de fibras mencionada anteriormente por $\mathfrak{F}_{X}$ .

entonces el centro de cada fibra (tallo) de $\mathfrak{F}_{X}$ recuperan el presheaf del anillo conmutativo definido anteriormente y, por tanto, el centro geométrico de Zariski. Además, la sección de catersión de esta categoría fibrosa es equivalente a $Qcoh(X)$ cuando $X$ es un esquema conmutativo

Pregunta

Es bien sabido que para un grupo compacto $G$ podemos utilizar el formalismo de Tanaka para reconstruir este grupo a partir de la categoría de su representación $(Rep(G),\bigotimes _{k},Id)$ . ¿Es esta reconstrucción Moralmente ¿es lo mismo que el teorema de reconstrucción de patrones de Gabriel-Rosenberg?

Desde mi punto de vista, creo que $Qcoh(X)$ y la categoría de representaciones de grupos son muy similares porque $Qcoh(X)$ puede tomarse como "categoría de representación de esquema". Por otra parte, el esquema de grupo es un esquema compatible con las operaciones de grupo. Por lo tanto, creo que debería tener un formalismo unido para reconstruir ambos. Entonces tengo las siguientes preguntas:

1 ¿Existe un formalismo Tanaka para la reconstrucción del esquema general $(X,O_{X})$ de $Qcoh(X)$ ?

2.¿Existe una reconstrucción del patrón de Gabriel-Rosenberg (realización geométrica de la categoría de la categoría de representaciones del grupo) para recuperar un esquema de grupo? Creo que este formalismo es natural (porque la realización geométrica de una categoría es sólo una pila de categorías locales y el centro (definido como endomorfismo de un functor idéntico) de la fibra de esta pila puede recuperar el esquema original) y tiene buena generalidad (se puede extender a entornos más generales)

Tal vez se pueda argumentar que estos dos teoremas de reconstrucción viven en una naturaleza diferente porque la reconstrucción de los esquemas de grupo requiere que uno reconstruya las operaciones de grupo que obligan a ir a las categorías monoidales (reconstruir la estructura coalgebraica) mientras que la reconstrucción de esquema no grupal no lo hace (sólo necesita reconstruir la estructura del álgebra).

Sin embargo, si nos atenemos al caso conmutativo. $Qcoh(X)$ tiene una estructura simétrica monoidal natural. Entonces, en este caso, creo que este argumento desaparece.

Más preocupación

Acabo de ver el documento de P.Balmer sobre reconstrucción de la categoría derivada Parece que también utilizó el patrón de Gabriel-Rosenberg en categorías trianguladas: Definió el espectro de la categoría triangulada como imitación directa de los ideales primos del anillo conmutativo. A continuación, utilizó la versión triangulada de la realización geométrica (la realización geométrica de la categoría triangulada como una pila de la categoría triangulada local), por lo que surgió una categoría fibrosa, y luego tomó el centro de la fibra en los conjuntos abiertos del espectro de las categorías trianguladas para recavar la preforma (por lo tanto, la gavilla) de los anillos conmutativos. Esta versión triangulada de la realización geométrica también se menciona en las notas de clase de Rosenberg Temas de geometría algebraica no conmutativa, álgebra homóloga y teoría K página 43-44, también discute la relación con la construcción de Balmer. Pero en la consideración de Balmer, hay una estructura tensorial en su categoría derivada

Por lo tanto, la pregunta adicional es:

¿Existe una versión triangulada del formalismo de Tannaka que pueda recuperar el teorema de reconstrucción de P.Balmer? ? He oído de algunos expertos en geometría algebraica derivada que Jacob Lurie desarrolló una versión derivada del formalismo de Tannaka. Sé que hay muchos expertos en DAG en este sitio. Me pregunto si alguno puede responder a esta pregunta.

De hecho, todavía tengo alguna inquietud sobre el teorema de reconstrucción de Bondal-Orlov, pero me parece que no debo hacer demasiadas preguntas a la vez.Así que, me detengo aquí.Todos los comentarios relacionados y no relacionados son bienvenidos

Gracias de antemano.

Teorema de la reconstrucción en nLab teorema de la reconstrucción

EDITAR : Una buena respuesta proporcionada por Ben-Zvi para preguntas relacionadas

Answer 1

La reconstrucción tannakiana para los esquemas y, más en general, los apilamientos geométricos de QCoh(X) con su estructura tensorial (debida a Jacob Lurie) se explica en mi respuesta a Formalismo Tannakiano . Se puede (y se ha hecho) intentar extender esto al entorno derivado, donde se debería obtener una afirmación mucho más fuerte que el teorema de reconstrucción de Balmer. En primer lugar, hay que sustituir las categorías trianguladas, que son demasiado gruesas para trabajar con ellas de forma eficaz, por categorías simétricas monoidales. $(\infty,1)$ -(o categorías dg simm. monoidales digamos en característica cero).

Hay un functor obvio de tales objetos C a pilas derivadas Spec C dadas por la reconstrucción tannakiana -- se define igual que en el caso abeliano (véase mi respuesta anterior). A saber, construimos el functor de puntos de Spec C, como un functor de anillos derivados a espacios o conjuntos simpliciales: Spec C(R) = el $\infty$ -de funtores tensoriales de C a módulos R. En el caso de que C sea la forma infinito-categórica de QCoh (X) para X un esquema esto recupera X, dando un resultado que refina el de Balmer (esto fue trabajado por Nadler, Francis y yo mismo, y muchos otros creo -- en particular Toen y Lurie entendieron esto hace mucho tiempo). Creo firmemente que este es un punto de vista mejor que tratar de definir un espacio localmente anillado a partir de una categoría triangulada, y tiene más posibilidades de extenderse a los apilamientos. En particular, C se sheafifica tautológicamente (como una gavilla de monoidales simétricos $\infty$ -) sobre X.

Sin embargo, las cosas se ponen mucho más interesantes en el caso de que C=Qcoh X para X una pila (con diagonal afín, o todo falla inmediatamente) -- por ejemplo, para C=Reps(G)=QCoh (BG), el escenario del formalismo tannakiano habitual. Allí uno aprende rápidamente que la imagen ingenua anterior es falsa. En concreto, tomemos G como el grupo multiplicativo $G_m$ . Entonces hay un montón de funtores de fibra interesantes sobre la derivada Rep G = complejos de espacios vectoriales graduados que no están dados por puntos de BG_m (es decir, no son el habitual funtor de fibra "olvidadizo") --- a saber, podemos enviar la rep definitoria de $G_m$ no al espacio vectorial unidimensional en grado cero, sino en cualquier grado que queramos (es decir, aplicar el desplazamiento) - ya que este es un generador que determina el resto del functor de fibra. Esto demuestra que un teorema tannakiano ingenuo falla en el entorno derivado, sin imponer algunas hipótesis de "conectividad" (es decir, sin tener estructuras t alrededor). Creo que un estudiante de Toen está escribiendo una tesis sobre este tema, pero no conozco los enunciados precisos (y por tanto no "sacaré" sus resultados).

Por supuesto, es un poco decepcionante necesitar TANTO una estructura tensorial como una estructura t, ya que moralmente cualquiera de las dos debería ser suficiente para la reconstrucción (tener una estructura t significa que podemos recuperar la categoría abeliana de gavillas cuasicoherentes, que según Rosenberg recupera X ya en el caso de los esquemas sin necesidad de estructura tensorial). Pero para las pilas generales no conozco una respuesta mejor.

Answer 2

Nunca he trabajado mucho en la reconstrucción y los espectros (aunque debería y pienso hacerlo). Es un área interesante de profunda importancia para la geometría en general y está indudablemente relacionada con la teoría de Galois también. Tomasz Maszczyk impartió un seminario en Varsovia en el que describió cómo la teoría de Galois de Grothendieck (y la generalización de Joyal-Tierney) y el formalismo de Tannakian, son ambos casos especiales de un teorema sobre el cambio de base en cierta configuración geométrica de bicategorías. También hay que buscar los mecanismos básicos en la teoría categórica de Galois de Janelidze y el descenso de Galois:

G. Janelidze, F. Borceux, Galois Theories, Cambridge Studies in Advanced Mathematics 72, Cambridge University Press, 2001

G. Janelidze, Magid's theorem in categories, Bull. Georgian Acad. Sci. 114, 3, 1984, 497-500 (en ruso)

G. Janelidze, El teorema fundamental de la teoría de Galois, Math. USSR Sbornik 64 (2), 1989, 359-374

G. Janelidze, Precategorías y teoría de Galois, Proc. Como, Springer Lect. Notes in Math. 1488, 1991, 157-173

G. Janelidze, D. Schumacher, R. Street, Galois theory in variable categories, Applied Categorical Structures 1, 1993, 103-110

Mi consejo para mí mismo (como he dicho, espero trabajar más en esto) y, por tanto, para ti, es que busques ejemplos más sencillos (como el teorema de incrustación de Barr, el teorema de incrustación de Mitchell, el teorema de reconstrucción de Giraud) en lugar de ejemplos más complicados de teoremas de reconstrucción. Los argumentos de Yoneda (y a veces también la monadicidad) están en la base de todos esos teoremas en algún lugar. Un ejemplo de uso de Yoneda de manos de Urs está en esta página de nlab .

A David: Creo que Rosenberg también ha mirado los espectros en versión A-infinito, si mi memoria no falla (aunque no lo he visto escrito). A veces cuenta su experiencia sobre varios ejemplos fuera del ámbito de las categorías abelianas/trianguladas (como, por ejemplo, las reconstrucciones espectrales para las variedades lisas...), pero le interesan sobre todo los ejemplos algebraicos para sus fines en la teoría de la representación, que no entiendo lo suficiente.