Rolling elipses

Question

Yo estoy luchando para probar el siguiente.

Establecer una elipse en contacto con una congruentes, de modo que el eje menor de uno está alineado con el eje mayor de la otra. Ahora rodar una alrededor de la otra. El lugar geométrico del centro de la laminación de la elipse es un círculo de centro a centro de los otros, de radio a + b.

Hay una evidente línea de ataque?

Answer 1

Como os prometí, aquí está la animación, que muestran locus punto por punto.

• Elipses parámetros: $a=2, b=1$.
• Gris círculo: círculo con un radio de $3$.
• Punto de contacto "mueve" a lo largo de la estática de la elipse (y a lo largo de rodadura uno) con velocidad constante.

Locus tiene alguna desviación de a perfect circle.

Answer 2

El lugar geométrico es no un círculo.

Contraejemplo.

Considere la posibilidad de elipses con semi-ejes $a=2,b=1$. Deje que la ecuación de la estática elipse es $$ \dfrac{x^2}{2^2} + \dfrac{y^2}{1^2} = 1. $$

Aquí 3 pasos que se muestran:

Supongamos que el lugar geométrico es un círculo (con un radio de $r = a+b =3$).

A continuación, debe ser un instante/momento (ver $2$nd de la imagen), cuando los puntos suspensivos son co-dirigido (semimajor ejes son paralelos).

Y 2 condiciones deben ser verdaderas: $$KM = LM = 3/2;\tag{1}$$ (desde simetría); y $$len(BM) = len(AM),\tag{2}$$ donde $len(...)$ es la longitud del arco. Sí, $len(BM) =^{\mbox{symmetry}} len(CM) =^{\mbox{rolling}} len(AM)$, ya que la elipse está rodando sin deslizar.

1). Buscando en condición de $(1)$, vamos a encontrar las coordenadas del punto $M$.

$M$ pertenece a la elipse, $|KM|=3/2$.

$\left\{ \begin{array}{l} x^2+4y^2 = 4; \quad (M \mbox{belong to ellipse});\\ x^2+y^2 = 9/4;\quad (|KM| = 3/2); \end{array} \right. \quad \implica x = \sqrt{5/3},\; y = \sqrt{7/12}$.

2). Vamos a estimar el $len(BM)$$len(AM)$.

Ecuación de arc $AB$$y = f(x) =\sqrt{1-x^2/4}$.

Nota, que $f'(x) = \dfrac{-x/2}{2\sqrt{1-x^2/4}} = \dfrac {x}{\sqrt{16-4x^2}}$.

$\sqrt{1 +(f'(x))^2} = \sqrt{\dfrac{16-4x^2}{16-4x^2} + \dfrac{x^2}{16-4x^2}} = \sqrt{\dfrac{16-3x^2}{16-4x^2}}$.

Así,

$\displaystyle len(BM) = \int\limits_0^{\sqrt{5/3}} \sqrt{1+(f'(x))^2} dx = \int\limits_0^{\sqrt{5/3}} \sqrt{\dfrac{16-3x^2}{16-4x^2}}dx \aprox 1.32081$ (wolfram alpha).

$\displaystyle len(AM) = \int\limits_{\sqrt{5/3}}^{2} \sqrt{1+(f'(x))^2} dx = \int\limits_{\sqrt{5/3}}^2 \sqrt{\dfrac{16-3x^2}{16-4x^2}}dx \aprox 1.10131$ (wolfram alpha).

Cuando la condición se $(1)$ es verdadera, la condición de $(2)$ no es cierto.

Así, el locus no es círculo.

Answer 3

Para la longitud de arco, el medio de expresión debe tener un signo más entre los dos términos. En la última integral de los límites debe ser root-5-3 a 2.

En la hipótesis del círculo, mi crudo experimento con cajas de queso envuelto en velcro, un = 69+o-1 mm, b = 43+o-1 mm, dio un diámetro de 225 mm con una desviación estándar de 5 mm.

Los experimentos forma parte de un artículo de un reino unido de matemáticas de la revista dirigida a los profesores de secundaria (Matemáticas en la Escuela). Desde su publicación me gustaría hacer que los profesores de más edad que los estudiantes tomen conciencia de Mathstackexchange. (Aparte de la final de las integrales no hay nada en su prueba de que no estaría en Un nivel de matemáticas plan de estudios.)

Answer 4

Sólo otro estilo de contraejemplo.

Consideramos momento/instante, cuando la elipsis es co-dirigida (imagen $2$) (ver post anterior).

1) Asumir la condición de $(1)$ es cierto. Así, encontrar el punto de $M$, que divide los arc $AB$ en 2 partes de igual longitud.

$$ \displaystyle \int\limits_0^{x_M} \sqrt{\dfrac{16-3x^2}{16-4x^2}}dx = \int\limits_{x_M}^2 \sqrt{\dfrac{16-3x^2}{16-4x^2}}dx = \dfrac{1}{2} \int\limits_0^{2} \sqrt{\dfrac{16-3x^2}{16-4x^2}}dx. $$

Coordenadas de $M$: $x_M\approx 1.18894378$, porque $$ \displaystyle \int\limits_0^{x_M} \sqrt{\dfrac{16-3x^2}{16-4x^2}}dx \aprox 1.211056028, $$ $$ \displaystyle \int\limits_{x_M}^2 \sqrt{\dfrac{16-3x^2}{16-4x^2}}dx \aprox 1.211056028. $$ A continuación,$y_M = \sqrt{1-x_M^2/4} \approx 0.80411639$.

2) Pero la condición de $(2)$ es falso ahora. $KL = 2KM = 2\sqrt{x_M^2+y_M^2} \approx 2.8706727$. Está lejos de $3$. La desviación es $4.31 \%$.

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Cuando los puntos suspensivos se han $a=5,b=1$, encontrarás $KL \approx 5.5108044$, en lugar de $6$.
La desviación es $8.15 \%$ ahora.