Reducir a la mitad de una variable aleatoria discreta?

Question

Deje $X$ ser un discreto de la variable aleatoria toma sus valores en $\mathbb{N}$. Me gustaría reducir a la mitad esta variable, es decir, encontrar una variable aleatoria $Y$ tales como:

$$X = Y + Y^*$$

donde $Y^*$ es una copia independiente de $Y$.

• Me estoy refiriendo a este proceso como reducir a la mitad; esta es una terminología. Hay un término apropiado encontrados en la literatura para esta operación?
• Me parece que tal $Y$ siempre existe sólo si aceptamos la negativa de probabilidades. Estoy en lo cierto en mi observación?
• Hay una noción de las mejores positiva ajuste para $Y$? Aka la variable aleatoria que sería el "más cercano" para resolver la ecuación anterior.

Gracias!

Answer 1

Una noción fuertemente relacionada con esta propiedad (si es más débil) es decomposability. Un descomponible ley es una distribución de probabilidad que puede ser representado como la distribución de una suma de dos (o más) no trivial independiente de variables aleatorias. (Y un indecomposable ley no puede ser escrita de esa manera. La "o más" es, sin duda irrelevante.) Una condición necesaria y suficiente para decomposability es que la función característica $$\psi(t)=\mathbb{E}[\exp\{itX\}]$$ is the product of two (or more) characteristic functions.

I do not know whether or not the property you consider already has a name in probability theory, maybe linked with infinite divisibility. Which is a much stronger property of $X$, but which includes this property: all infinitely divisible rv's do satisfy this decomposition.

A necessary and sufficient condition for this "primary divisibility" is that the root of the characteristic function $$\psi(t)=\mathbb{E}[\exp\{itX\}]$$ is again a characteristic function.

In the case of distributions with integer support, this is rarely the case since the characteristic function is a polynomial in $\exp\{\}$. For instance, a Bernoulli random variable is not decomposable.

As pointed out in the Wikipedia page on decomposability, there also exist absolutely continuous distributions that are non-decomposable, like the one with density$$f(x)=\frac{x^2}{\sqrt{2\pi}}\exp\{-x^2/2\}$$

In the event the characteristic function of $X$ es el valor real, Polya del teorema se puede utilizar:

Pólya del teorema. Si φ es un valor real, incluso, la función continua que satisface las condiciones

φ(0) = 1,
φ is convex on (0,∞),
φ(∞) = 0,

entonces φ es la función característica de un absolutamente continua distribución simétrica.

De hecho, en este caso, $\varphi^{1/2}$ es de nuevo un valor real. Por lo tanto, una condición suficiente para $X$ primaria divisible es que φ es la raíz-convexo. Pero sólo se aplica a distribuciones simétricas así es mucho más limitado uso de Böchner del teorema , por ejemplo.

Answer 2

Hay algunos casos especiales en los que esto es cierto, pero para un arbitraria discreto de la variable aleatoria, su "reducir a la mitad" no es posible.

• La suma de dos independientes Binomio$(n,p)$ variables aleatorias es un un Binomio$(2n,p)$ variable aleatoria, y así un Binomio$(2n,p)$ puede ser "a la mitad".
  Ejercicio: averiguar si un Binomio$(2n+1,p)$ variable aleatoria puede ser "reducido a la mitad".

• Del mismo modo, una Binomial Negativa$(2n,p)$ variable aleatoria puede ser "reducido a la mitad".

• La suma de dos independientes de Poisson$(\lambda)$ variables aleatorias es una Poisson$(2\lambda)$; por el contrario, una distribución de Poisson$(\lambda)$ variable aleatoria es la suma de dos independientes de Poisson$(\frac{\lambda}{2})$ random variables. En efecto, como @Xi'an puntos en un comentario, una Poisson$(\lambda)$ variable aleatoria puede ser "reducido a la mitad", como muchas veces como nos gusta: para cada entero positivo $n$, es la suma de $2^n$ independiente Poisson$\left(\frac{\lambda}{2^n}\right)$ variables aleatorias.

Answer 3

El problema me parece que usted solicite una "copia independiente", de lo contrario sólo podría multiplicar con $\frac{1}{2}$? En lugar de escribir copia (copia es siempre dependiente), que tal vez debería escribir "dos independientes, pero idénticamente distribuidas variables aleatorias".

Para responder a sus preguntas,

• lo que más se aproxima es tal vez el término de convolución. Por $X$, se buscan dos iid RV con convolución $X$.

• si usted acepta la negativa de las probabilidades, estos no son variables aleatorias, ya que no hay ninguna probabilidad de más espacio. Hay casos en los que usted puede encontrar $Y,Y^*$ ($X$ $\lambda$-Poisson-distribuido, $Y$,$Y^*$ $\frac{\lambda}{2}$-Poisson distribuidos), y los casos donde no es posible ($X$ Bernoulli, como ejemplo).

• yo no he visto ninguna, y no me puedo imaginar cómo se formaliza un mejor ajuste. Generalmente, las aproximaciones a las variables aleatorias se mide por una norma en el espacio de variables aleatorias. No puedo pensar de las aproximaciones de variables aleatorias o no de variables aleatorias.

Espero que te pueda ayudar.