"Del teorema de Cayley" para álgebras de Lie?

Question

Los grupos pueden ser definidos de manera abstracta como conjuntos con una operación binaria la satisfacción de ciertas identidades, o concretamente como una colección de permutaciones de un conjunto. Cayley del teorema asegura que estas dos definiciones son equivalentes: cualquier abstracto grupo actúa como una colección de permutaciones de su conjunto subyacente, y esta acción es fiel.

Del mismo modo, los anillos pueden ser definidos de manera abstracta como conjuntos con un par de operaciones binarias, que la satisfacción de ciertas identidades, o concretamente como una colección de endomorphisms de un grupo abelian. Hay un "del teorema de Cayley" aquí también: cualquier abstracto anillo actúa como una colección de endomorphisms de su subyacente abelian grupo, y esta acción es fiel.

La situación de álgebras de Lie parece mucho menos claro para mí. El adjunto de la representación en general no es fiel, y Ado del teorema viene con calificaciones y no tiene la sencillez de los dos teoremas anteriores. Para mí, el problema es que no tengo un buen sentido de lo que es la definición concreta de una Mentira álgebra se supone debe ser.

Sospecho que una buena definición concreta de un álgebra de la Mentira es como un espacio de derivaciones en algunos álgebra cerrado bajo colector. En ese caso, ¿es correcto decir que una Mentira álgebra actos fielmente como derivaciones en su universal que envuelve el álgebra? Es este un buen análogo del teorema de Cayley?

(Motivación: en los libros sobre álgebras de Lie he leído, los autores comprobar que álgebras de Lie que ocurren en la naturaleza satisfacer alternativity y la identidad de Jacobi, pero nunca he visto que una simple justificación de que estos axiomas son "suficientes" de la misma manera que Cayley del teorema dice que los axiomas de un grupo o de un anillo son "suficiente". No es sólo Ado del teorema que, de nuevo, viene con las cualificaciones y es duro.)

Answer 1

Aquí es una manera de evitar Ado del teorema, a expensas de la utilización de la Poincaré-Birkhoff-Witt Teorema. La AFP teorema no tiene finita dimensión o característica de hipótesis, de modo que usted puede tener gusto de esto mejor. Nota, sin embargo, de que se dará cuenta finito dimensionales álgebras de Lie como endomrophisms de infinitas dimensiones espacios vectoriales.

Vamos a definir un hormigón Mentira álgebra como un espacio vectorial $V$, y un subespacio vectorial de $\mathfrak{h}$ de $\mathrm{End}(V)$ cerrada bajo colector.

Teorema: Cada Mentira álgebra es isomorfo a un concreto Mentira álgebra.

Prueba: Deja que $\mathfrak{g}$ una Mentira álgebra y $U$ universal de la envolvente de álgebra. La Mentira de álgebra $\mathfrak{g}$ actúa en $U$ por la izquierda de la multiplicación, por lo que esto le da un mapa de $\mathfrak{g} \a U$ tomando soporte de colector. Debemos demostrar que este mapa es inyectiva.

Elegir una base de ${ v_i } $ $\mathfrak{g}$. Supongamos que a la izquierda de la multiplicación por $\sum a_i v_i$ es $0$. Entonces $\left( \sum a_i v_i \right) \cdot 1 = \sum a_i v_i$ sería cero en $U$. Pero, por la AFP teorema, la $v_i$ son linealmente independientes en $U$, una contradicción. QED

Que yo sepa, en este caso especial de AFP es tan duro como el conjunto de teorema.

Answer 2

Un finito-dimensional real Mentira álgebra siempre surge como el álgebra de la Mentira una Mentira grupo. Por supuesto, la prueba de ello hace uso de Ado del teorema, así como algunos Mienten grupo de teoría (una subalgebra de una Mentira álgebra de Lie del grupo $G$ también es una Mentira álgebra de Lie del grupo, pero no necesariamente la Mentira algebra de un subgrupo de $G$). El resultado es que más de $\mathbb{R}$ la definición de (finito-dimensional) se encuentran álgebra es suficiente para tratar con toda la Mentira de los grupos.

Answer 3

Debido a la Peter-Weyl teorema de cada finito dimensionales Mentira grupo es isomorfo a un subgrupo de la ortogonal grupo O(m) para algunos m. Por lo tanto, su Mentira el álgebra es una subalgebra de la Mentira álgebra de la ortogonales grupo que es la misma que la Mentira de álgebra de la vuelta del grupo de Giro(m). Ahora, la Mentira de álgebra de la vuelta del grupo es el bivector subalgebra de álgebra de clifford Cl(m). Así, cada finito dimensionales Mentira álgebra es isomorfo a una Mentira subalgebra de la bivector subalgebra de un álgebra de clifford. Este punto de vista parece análoga a la del teorema de Cayley por las siguientes razones:

1. Existe una representación proyectiva del grupo simétrico en el álgebra de Clifford: (a,b) --> e_a - e_b. Por lo tanto el álgebra de Clifford puede ser visto como una especie de cuantización del grupo simétrico.

2. Esta construcción se generaliza al menos para el caso de los afín Kac-Moody álgebras de que tienen similares realizaciones en el infinito dimensional álgebra de Clifford.

Answer 4

Clásicamente, el "concreto" de la definición de lo que es una Mentira el álgebra es simplemente es un subespacio de $\mathrm{End}(V)$, para algunas espacio vectorial $V$, que es cerrado bajo los conmutadores. Es un teorema, entonces, que una cosa es la misma cosa que un par de $(\text{espacio vectorial},\text{antisimétrica soporte})$ satisface la identidad de Jacobi. Este teorema es muy importante cuando se desarrolla la teoría de que manera, porque significa que se puede describir de forma abstracta álgebras de Lie a través de ecuaciones.

(Esto debe compararse con la situación de álgebras de Jordan, como se explica en el Jacobson increíble libro sobre el tema: especial de álgebras de Jordan, los subespacios de $\mathrm{End}(V)$es cerrado bajo el producto de $A\bullet B\dot=\tfrac12(AB+BA)$, no son caracterizables mediante ecuaciones; esto es una consecuencia del hecho de que la clase de especiales Jordan álgebras no es cerrado bajo cocientes)