Deje $f_0=2$$f_n=f_{n-1}+\ln(f_{n-1})$. ¿Qué es una buena forma asintótica a la secuencia de $f_n$? Con buena me refiero a mucho mejor que el $f_n \sim \dfrac{3n \ln(2)\ln(n)}{2}$.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
$$\lim_{n\to\infty}\left(\frac{f_n}n-\log n-\log\log n\right)=-1$$
Para probar esto, considere la posibilidad de $g_n=n\log n+n\log\log n-n$$h_n=f_n-g_n$. Uno quiere demostrar que $h_n=o(n)$. La identidad de $f_{n+1}=f_n+\log f_n$ es equivalente a $$ h_{n+1}=g_n+h_n+\log(g_n+h_n)-g_{n+1}. $$ El uso de simples propiedades de los logaritmos, se puede demostrar que esto implica $$ h_{n+1}=h_n+\log\left(1+\frac{\log\log n}{\log n}-\frac1{\log n}+\frac{h_n}{n\log n}\right)+O\left(\frac1{\log n}\right). $$ En particular, si $h_n=o(n\log n)$, el logaritmo en el lado derecho tiende a cero por lo tanto $h_{n+1}=h_n+o(1)$, lo que implica $h_n=o(n)$. Por lo tanto, nuestra tarea es demostrar el más fácil la declaración de que $$ f_n=n\log n+o(n\log n). $$ Para ello, en primer lugar tenga en cuenta que $f_n\geqslant2$ por cada $n\geqslant0$ rendimientos $f_{n+1}-f_n\geqslant\log2$ por lo tanto $f_n\geqslant n\log2$ por cada $n\geqslant0$. Conectando de una vez de nuevo en la recursividad $f_{n+1}=f_n+\log f_n$ rendimientos $f_{n+1}-f_n\geqslant\log n+\log\log2$ por lo tanto, resumiendo, $f_n\geqslant n\log n+o(n\log n)$.
En la otra dirección, $f_{k+1}-f_k=\log f_k\leqslant\log f_n$ por cada $k\leqslant n$ por lo tanto $f_n\leqslant f_0+n\log f_n$, que puede ser visto a implicar $f_n\leqslant n\log n+2n\log\log n$ por cada $n$ lo suficientemente grande. Esto completa la prueba.
