¿Qué funciones satisfacen esta ecuación funcional?

Question

$$f(x)-g(x)=f(g(x))$$

Cómo puedo encontrar una f(x) y g(x) que satisfacen este?

Answer 1

Puede ser útil para reorganizar la ecuación como $$f(x)=g(x) + f(g(x)).\tag1$$ By taking this as the definition of $f$ and applying it repeatedly to the right-hand side, we get $$f(x) = g(x) + g(g(x)) + g(g(g(x))) + \dotsb = \sum_{k=1}^\infty g^{(k)}(x).\tag2$$ Thus, for any function $g$, we can obtain a corresponding $f$ by summing the iterates of $g$, siempre que esta suma converge.

Necesaria (pero no suficiente) condiciones para la convergencia de la suma es que la órbita de cualquier punto de partida $x$, en virtud de la aplicación repetida de $g$, debe eventualmente tienden a cero. En particular, $g$ no debe tener puntos fijos distinto de 0, y no debe tener ninguna ciclos o a otros puntos atractores.

Por desgracia, este método no generar todas las soluciones posibles. Un contraejemplo, proporcionada por barak manos, es $g(x) = 0$, por lo que $f(x) = a$ satisface la ecuación de $(1)$ cualquier $a \in \mathbb R$, incluso a pesar de que la ecuación de $(2)$ rendimientos sólo la solución de $f(x) = 0$.

(De hecho, es fácil mostrar que, si $g$ $f$ satisfacer la ecuación de $(1)$, $g$ $f+c$ para cualquier constante $c$. Por lo tanto, si la ecuación de $(1)$ tiene alguna solución para algunos $g$, debe tener una familia infinita de soluciones diferentes por un término constante añadido a $f$.)

Del mismo modo, para $g(x) = bx$, la serie $(2)$ converge a $f(x) = \frac{b}{1-b}x$ sólo al $|b| < 1$, aunque esta opción de $f(x)$ se obtiene en realidad una solución válida para la ecuación de $(1)$ cualquier $b \ne 1$. Sin embargo, a veces puede ser posible aplicar más potente de la suma de los métodos para obtener soluciones formales, incluso para algunas funciones $g$ para que esta serie diverge.

Answer 2

Sugerencia:

Intente $f(x)=ax$ $g(x)=bx$ y averiguar lo que los valores de $a,b$ va a hacer.

Answer 3

Para el polinomio de grado $0$:

• $f(x)=a$
• $g(x)=b$
• $f(g(x))=f(b)=a$
• $f(x)-g(x)=a-b$
• $f(g(x))=f(x)-g(x) \implies a=a-b \implies b=0$
• Así que usted puede elegir $[f(x)=a]$ $[g(x)=0]$ cualquier $[a\in\mathbb{R}]$

Para el polinomio de grado $1$:

• $f(x)=ax$
• $g(x)=bx$
• $f(g(x))=f(bx)=abx$
• $f(x)-g(x)=ax-bx$
• $f(g(x))=f(x)-g(x) \implies abx=ax-bx \implies b=\frac{a}{a+1}$
• Así que usted puede elegir $[f(x)=ax]$ $[g(x)=\frac{ax}{a+1}]$ cualquier $[a\in\mathbb{R},a\neq-1]$

Answer 4

Para el polinomio de grado 2:

• $f(x)=ax^2+bx+c$, $g(x)=x+d$

Sustituto, y encontrar los valores de $a,b,c,d$