$$ \left\lfloor\frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} +\dots+ \frac{1}{\sqrt{100}}\right\rfloor =\,? $$
Yo racionalización del denominador y luego pienso que de alguna manera deben grupo de los números, pero no sé cómo.
Gracias de antemano!
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Hacerlo en el 9 º grado matemáticas es todo un reto. Pero tal vez esto no podría llegar a cerrar.
Para cualquier número positivo $t$, tenemos $$ \dfrac{1}{\sqrt{t}} > 2 \sqrt{t+1} - 2 \sqrt{t} > \dfrac{1}{\sqrt{t+1}}$$
Para ver la primera desigualdad, tenga en cuenta que
$$ \left(\dfrac{1}{\sqrt{t}} + 2 \sqrt{t}\right)^2 = \dfrac{1}{t} + 4 + 4 t > 4 + 4 t = (2 \sqrt{t+1})^2$$ De manera similar para el segundo, mirando a $\left(2 \sqrt{t+1} - \dfrac{1}{\sqrt{t+1}}\right)^2$.
Por lo que $$\eqalign{\dfrac{1}{\sqrt{1}} + \dfrac{1}{\sqrt{2}} + \ldots + \dfrac{1}{\sqrt{100}} &> (2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{1}) + (2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{2}) + \ldots + (2 \sqrt{101} - 2 \sqrt{100})\cr &= 2 \sqrt{101} - 2 > 2 \sqrt{100} - 2 = 18\cr}$$ mientras $$\eqalign{\dfrac{1}{\sqrt{1}} + \dfrac{1}{\sqrt{2}} + \ldots + \dfrac{1}{\sqrt{100}} &< 1 + (2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{1}) + \ldots + (2 \sqrt{100} - 2 \sqrt{99})\cr & = 1 + 20 - 2 = 19\cr}$$
vadim123
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Usted puede obtener un límite inferior por $$\sum_{i=1}^{100}\frac{1}{\sqrt{i}}> \int_1^{101}\frac{dx}{\sqrt{x}}=2\sqrt{101}-2\approx 18.10$$
Usted puede obtener un límite superior por $$\sum_{i=1}^{100}\frac{1}{\sqrt{i}}< \int_0^{100}\frac{dx}{\sqrt{x}}=20$$
Podemos refinar el límite superior mediante la sustitución de $\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{x}}$$1$, que reemplaza a 20 con 19. Por lo tanto la suma deseada se encuentra entre los 18 y los 19 años, con piso 18.
