Coordenadas lagrangianas en el flujo de fluidos

Question

Pido disculpas si este no es el lugar adecuado para hacer esta pregunta:

Actualmente estoy leyendo un artículo de Y. Brenier, donde para el flujo de fluidos introduce una etiqueta lagrangiana $a$ en lugar de la coordenada vertical $z$ y define una "foliación lagrangiana como una familia de hojas $z = Z(t,x,a)$ etiquetado por $a \in [0,1]$ , donde $Z$ es una función suave tal que $$ 0\leq Z(t,x,a)\leq 1, \,\,\,Z(t,x,0) = 0, \,\,\,Z(t,x,1) = 1\\ \partial_a Z(t,x,a) > 0\\ \partial_t Z(t,x,a) + u(x,t,Z(t,x,a))\cdot \nabla_x Z(t,x,a) = w(t,x,Z(t,x,a))" $$ donde $x \in \mathbb{R}^2$ , $u = (u_1,u_2)$ es la velocidad del flujo horizontal y $w$ es la velocidad vertical y $\nabla_x = (\partial_{x_1},\partial_{x_2})$ .

Una posible opción inicial es $Z(0,x,a) = a$ .

Mi pregunta es: ¿Cuál es la interpretación física de esto? Parece que en lugar de etiquetar cada parcela de fluido individual en las coordenadas lagrangianas clásicas, sólo estamos etiquetando planos horizontales en su lugar, y luego ver cómo estas hojas se mueven y se deforman con el flujo?

Answer 1

Su pregunta ¿Cuál es la interpretación física de esto? no está demasiado claro. ¿Cuál es el significado físico del aspecto del Problema de Valor Límite Inicial (PVLI) que usted describe?

Independientemente de lo anterior, por lo que has escrito y por el título y resumen del trabajo estamos ante una solución periódica en $x$ para un flujo convexo en $z$ . A partir de esto si tomamos nuestro campo de velocidad paralelo a la $z$ coordinar para ser $u(t, x, z)$ entonces se puede escribir

$$ \partial_{zz} u(t, x, z) > 0.$$

Así que usando $z = Z(t, x, a)$ con $a \in [0, 1]$ (que especifica una "estratificación" del flujo), la condición $\partial_{a} Z(t, z, a) > 0$ está directamente relacionado con la convexidad declarada de los perfiles de velocidad (dada por la expresión anterior) y dada la "estratificación" del flujo se puede escribir

$$[\partial_{zz} u(t, x, Z(t, x, a))]^{-1} = \partial_{a} Z(t, z, a),$$

Así que $\partial_{a} Z(t, z, a) > 0$ es sólo una condición de la convexidad del flujo. Las demás condiciones son simplemente condiciones de contorno asumidas. Así, el flujo es convexo en la dirección z, y las láminas se estratifican "verticalmente" (si tomamos z como "vertical"), no "planos horizontales" (el $x_{1}, x_{2}$ plano) como usted ha dicho.

Para ver esto, a partir de la condición de convexidad anterior podemos escribir

$$\partial_{z} u(t, x, z) = \kappa,$$

donde $\kappa \in \mathbb{R}$ . Utilizando la ecuación de advección (mostrada para un campo escalar arbitrario $\lambda$ sin términos de origen o de destino)

$$\partial_{t}\lambda + u . \nabla \lambda = 0,$$

para este flujo podemos escribir

$$\partial_{t}(\partial_{z} u(t, x, z)) + u\partial_{x}(\partial_{z} u(t, x, z)) + w\partial_{z}(\partial_{z} u(t, x, z)) = 0,$$

como $\partial_{z} u(t, x, z) = \kappa,$ esto demuestra que la cantidad $\partial_{z} u(t, x, z)$ se advierte con el flujo.

Espero que esto ayude.