Hace unos días tuve la oportunidad de escuchar la charla sobre el modelo de la teoría y las conexiones con el álgebra y la geometría. No estoy en absoluto especialista en este campo, por lo que mi pregunta probablemente será ingenuo pero, sin embargo, voy a tratar de explicar mis dudas. Como mucho he entendido: por ejemplo, si consideramos la teoría de los grupos de un modelo de una teoría concreta del grupo. Por ejemplo, la sentencia: "hay algo de $g \in G$ tal que $g^2=e$" es una declaración verdadera en todos los modelos ($g=e$ es aceptar) por lo tanto, esta declaración es un teorema de la teoría de grupos. Por otro lado, la declaración de "para todos los $g \in G$ tenemos $g^2=e$" ya no es un teorema de la teoría de grupos: se pueden encontrar ejemplos (modelos) de la teoría donde está satisfecho, pero también se puede construir contraejemplos. En este sentido, esta declaración es independiente de los axiomas de la teoría de grupos. Hasta ahora todo se ve claro. Pero tengo un problema en la comprensión de cómo la situación se ve como en el contexto de la teoría de conjuntos ZFC y axiomas: por ejemplo, sé que la afirmación "la cardinalidad de los reales es el siguiente cardinalidad después de la cardinalidad del conjunto de los números naturales" es independiente de los axiomas de ZFC. En otras palabras, se pueden construir dos modelos diferentes para la teoría de conjuntos, donde en el modelo de esta declaración es verdadera, pero en la segunda es falsa. ¿Qué significa exactamente "para construir el modelo de la teoría de conjuntos"? Permítanme volver al ejemplo anterior acerca de los grupos: en el grupo de teoría de un modelo de un concreto grupo, de modo que "para construir el modelo" no significa nada más que "dar un ejemplo" pero, ¿cómo entender esto en el contexto de toda la teoría de conjuntos? ¿Qué es exactamente lo que tenemos que construir? Estoy seguro de que esta pregunta sería ingenuo desde el punto de vista del especialista: desde el otro lado sospecho que hay al menos un par de personas que le gustaría saber la respuesta a tales "meta" se pregunta.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Para construir un modelo de la teoría de conjuntos medios para producir un conjunto $A$ y una relación $R$ $A \times A$ de manera tal que todos los axiomas de ZFC son satisfechos si tomamos "set" para significar "elemento de $A$" y "$a \in b"$ a la media de $aRb$.
Esta realidad no es diferente que el caso con los grupos. La firma es diferente, y que los axiomas son diferentes, pero la definición de "modelo" es el mismo.
Hay una complicación, sin embargo. A pesar de ZFC demuestra que no es un modelo del grupo de axiomas ZFC no prueba que no es un modelo de los axiomas de ZFC. Una manera de conseguir alrededor de esto es pasar a un sistema más fuerte de la teoría de conjuntos para construir el modelo de ZFC. Por ejemplo, Kelley-Morse teoría demuestra que no es un modelo de ZFC. Otra forma es simplemente asumir que hay un modelo, y el uso que para la construcción de otros modelos.
A veces, en la teoría de conjuntos, podemos permitir que un tipo más general de la modelo en el que $A$ es una clase adecuada y $R$ es definible relación de pares de elementos de $A$. Estos son los llamados "modelos de clase".
