¿Cuándo es lo mismo la compactación Stone-Cech que la compactación de un punto?

Question

Para el espacio $\omega_1$ (con la topología de orden) tenemos $\beta\omega_1=\omega_1+1$ (o $\beta[0,\omega_1)=[0,\omega_1]$ si se prefiere esta notación), es decir, es un ejemplo de un espacio para el que Compactación de la piedra-Cech y compactación de un punto (también conocida como compactación de Alexandroff) coinciden. (Véase, por ejemplo, esta respuesta y este blog .)

¿Existe alguna caracterización conocida de los espacios topológicos tal que la compactificación de Stone-Cech $\beta X$ y la compactación de un punto $\omega X$ son los mismos?

Answer 1

Lo siguiente procede de un problema de Engelking (Problema 3.12.16, p.234), y se atribuye a E. Hewitt, Ciertas generalizaciones del teorema de aproximación de Weierstrass , Duke Math. J. 14 (1947), 419-427:

...para cada espacio de Tychonoff $X$ las siguientes condiciones son equivalentes

1. El espacio $X$ tiene una compactación única (hasta la equivalencia).
2. El espacio $X$ es compacto o $| \beta X \setminus X | = 1$ .
3. Si dos subconjuntos cerrados de $X$ están completamente separados, entonces al menos uno de ellos es compacto.