Clasificar todos los grupos con isomorfo copia de $\mathbb{Z}$ de índice de $2$.

Question

Tengo la siguiente pregunta:

Clasificar todos los grupos de $G$ contiene una isomorfo copia de $\mathbb{Z}$ tal que la copia ha de índice $2$ $G$

Hay algunos candidatos: $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$, $\mathbb{Z}$, y el infinito diedro grupo $\mathcal{D}(\mathbb{Z})$. Pero, ¿cómo podemos dar una clasificación completa? Gracias!

Answer 1

Sugerencia. Deje $G$ ser un grupo en el que $\mathbb{Z}$ es un subgrupo de índice $2$.

$\hspace{10pt}\text{S}{\small \text{TEP}}\text{ I}.\hspace{8pt}$ Demostrar que los subgrupos de índice $2$ son necesariamente normal.

$\hspace{10pt}\text{S}{\small \text{TEP}}\text{ II}.\hspace{5pt}$ Esto significa que el $G$ hechos por automorfismos en $\mathbb{Z}$. ¿Cuáles son los automorfismos de a $\mathbb{Z}$?

$\hspace{10pt}\text{S}{\small \text{TEP}}\text{ III}.\hspace{2pt}$ Si $G=\mathbb{Z}K$, ¿cuáles son las opciones para $K$? Relacionar esto con las diferentes opciones en $\text{II}$.

Nota. Ser cuidadoso en la $\text{S}{\small \text{TEP}}\text{ III}$ a, considere el caso donde la extensión es nonsplit (es decir, $G$ es no un semidirect producto de la forma $\mathbb{Z}\rtimes K$). Si te quedas atascado aquí, intentar la construcción de presentaciones de grupo.

Answer 2

Yo trato de ver todas las tablas de multiplicar de $G$. Deje $\mathbb{Z}\backsimeq <a>=H \leq G$ algunos $a\in G$$G/H \backsimeq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$. Tomar un elemento $b \in G-H$. A continuación, $G$ es distinto de la unión de $H$$bH$. Para llenar la tabla, es suficiente para saber $ba^{i}ba^{j}$ $a^{i}ba^{j}$ cualquier $a^{i}, a^{j} \in H$. Pero desde $ba^{i}ba^{j}=b^2(b^{-1}a^{i}b)a^{j}=b^2\phi_{b}(a^{i})a^{j}$ $a^{i}ba^{j}=b(b^{-1}a^{i}b)a^{j}=b\phi_{b}(a^{i})a^{j}$ donde $\phi_{b}\in Aut(H)$ es una conjugación por $b$, es suficiente para saber $\phi_{b}$$b^{2}$. Tenga en cuenta que $Aut(H)=${$Id$, la inversión}. Supongamos $\phi_{b}=Id$. A continuación, $G$ es abelian. Recordar uno de abelian candidato $\mathbb{Z}$$G$. Así que debemos encontrar un elemento $c\in G$$c^{2}=a$. Sabemos $b^{2}=a^{k}$ algunos $k\in \mathbb{Z}$. Si $k$ es impar, entonces $b^{2}=a^{2n+1}$ es decir $a=(ba^{-n})^{2}=c^{2}$. Ahora vamos a $G$ ser distinto de la unión de $H$$cH$. A continuación, podemos llenar la tabla de multiplicación de $G$ donde$G\backsimeq \mathbb{Z}$$H\backsimeq 2\mathbb{Z}$. Si $k$ es incluso, se espera encontrar una involución $d \in G$ debido a otros abelian candidato $\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$. De nuevo sabemos $b^{2}=a^{k}$ algunos $k\in \mathbb{Z}$. A continuación,$b^{2}=a^{2n} \Rightarrow 1=b^{2}a^{-2n}=(ba^{-n})^{2}=d^{2}$.Así que si tenemos en cuenta $G$ es distinto de la unión de $H$$dH$, entonces podemos ver la tabla de multiplicación de $G \backsimeq \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ donde $H \backsimeq \mathbb{Z}$. Ahora supongamos que $\phi_{b}=$de la inversión. Sabemos que $b^{2}=a^{k}$ algunos $k\in \mathbb{Z}$. A continuación,$b=b^{-1}a^{k}\Rightarrow b^{2}=b^{-1}a^{k}b=\phi_{b}(a^{k})=a^{-k}$. Así que tenemos $a^{k}=a^{-k}\Rightarrow 1=(a^{k})^{2}=f^{2}$ donde $f=a^{k}$. Ahora bien, si tenemos en cuenta $G$ como distinto de la unión de $H$$fH$, entonces sabemos que la tabla de multiplicar de $G$. De hecho, es el infinito diedro grupo.