¿Por qué son la banda de máximos / mínimos de frecuencia (siempre?) en alta simetría de puntos?

Question

(inspirado por esta pregunta.)

En cada semiconductor en el que puedo pensar, las bandas de valencia máxima y la banda de conducción mínimo son en una alta simetría de punto en la Zona de Brillouin (BZ). A menudo el BZ centro, o en una esquina, etc. En el silicio, el CBM no se encuentra en alguno de estos puntos, pero es en el camino en línea recta entre los rayos Gamma y X punto, por lo que todavía tiene más de simetría de un punto arbitrario en el BZ.

¿Por qué hace eso suelen ocurrir? ¿Es siempre así, o hay excepciones donde una banda de extremo (cualquier banda, no sólo de valencia o de conducción) se produce en un punto en el BZ con el más bajo posible de simetría? (Por que son tantas copias del extremo, ya que hay elementos del grupo de puntos de ... o algo así.)

Answer 1

$\renewcommand{ket}[1]{|#1\rangle}$ Los básicos de la conexión lógica aquí es $$\text{symmetry} \rightarrow \text{degeneracy} \rightarrow \text{avoided crossing} \rightarrow \text{band gap} \, .$$

$\textrm{symmetry}\rightarrow \textrm{degeneracy}$

Considere la posibilidad de un operador $S$ y deje $T(t) = \exp[-i H t / \hbar]$ ser la evolución en el tiempo del operador. Si $$ [ T(t), S] = 0 $$ a continuación, $S$ es una simetría de transformación. Podemos ver por qué esta condición de conmutación es una buena definición de simetría mediante la consideración de un estado inicial $\ket{\Psi}$ y la transformada estado $\ket{\Psi'} \equiv S \ket{\Psi}$. Si $[T, S] = 0$, luego \begin{align} T S \ket{\Psi} &= S T \ket{\Psi} \\ T \ket{\Psi'} &= S \ket{\Psi(t)} \\ \ket{\Psi'(t)} &= S \ket{\Psi(t)} \, . \end{align} Esto nos dice que si queremos transformar un estado inicial y, a continuación, que se propagan a través del tiempo (lado izquierdo), se obtiene la misma cosa que si que se propagan a través del tiempo y, a continuación, transformar (lado derecho). Imagina un 1D Hamiltonianos con la izquierda/a la derecha de la simetría. Que la simetría significa que, por ejemplo, una mudanza paquete de ondas es el espejo de una izquierda mover paquete de ondas. En otras palabras, si nos movemos a la derecha por el tiempo de $t$ y, a continuación, espejo, se obtiene la misma cosa que la izquierda mover el paquete después de que se $t$.

Una forma simple de encontrar un operador $S$ que conmutan con a $T$ es encontrar uno que conmutan con a $H$. Si $S$ viajes con $H$, luego tenemos la degeneración debido a que para una energía eigenstate $\ket{\Psi}$ con autovalor $E$ hemos $$H (S \ket{\Psi}) = S H \ket{\Psi} = E (S \ket{\Psi})$$ el que dice que $S\ket{\Psi}$ es un también un eigenstate de $H$ con energía $E$. Tenga en cuenta que esto también muestra que el número de estados degenerados es igual al número de veces que se puede multiplicar $S$ por sí mismo antes de llegar a la identidad.

$\textrm{degeneracy} \rightarrow \textrm{avoided crossing}$

Supongamos que usted tiene un Hamiltoniano $H$ que depende de un parámetro $\lambda$, y supongamos que para un determinado valor de $\lambda_0$ $H$ tiene una simetría y, por tanto, una degeneración. Esto es ilustrado por la línea punteada en el diagrama que muestre las energías de los estados $\ket{\Psi}$ $S\ket{\Psi}$ como funciones de $\lambda$; se cruzan en $\lambda_0$. Si hay otro término $V$ en el Hamiltoniano que es no simétrica en $S$, entonces la degeneración desaparece y las energías para $\ket{\Psi}$ $\ket{\Psi'}$ no se cruzan. Este famoso "evitarse el paso a nivel", se indica por las líneas continuas en la figura.$^{[a]}$ Cálculo de la brecha en la evitarse el paso a nivel es un problema estándar en Hamiltoniana de la mecánica y se puede hacer utilizando la teoría de la perturbación teniendo en cuenta los dos niveles involucrados en el cruce.

$\textrm{avoided crossing} \rightarrow \text{band gap}$

El Hamiltoniano para un electrón en un cristal tiene tres partes: energía cinética, energía potencial, y electrón-electrón de acoplamiento. Vamos a olvidarnos de interacciones electrón-electrón en su totalidad, y asumen que el potencial de la energía del cristal es débil en comparación con la de los electrones de las energías cinéticas. En este caso, podemos tratar la energía cinética como la parte fuerte $H$ y la energía potencial como la parte débil $V$ de la de Hamilton. Resulta que si calcular la energía cinética de los electrones en una red periódica como una función de impulso de cristal $\vec{k}$ hay degeneración dondequiera $\vec{k}$ golpea a un plano de Bragg. Pensando ahora de $\vec{k}$ jugando el papel de $\lambda$, tenemos un cruce de energía cuando el cristal impulso golpea a un plano de Bragg.

Cuando añadimos a la energía potencial de la red, juega el papel de $V$ y divisiones de la degeneración, produciendo lo que llamamos una brecha de banda.

$[a]$: Evitar pasos a nivel son no un efecto cuántico. Un clásico de Hamilton con una parte fuerte $H$ presentan una simetría y una parte más débil $V$ romper esa simetría también exhibe evitarse el paso a nivel.

Referencia: recomiendo encarecidamente la lectura de los capítulos 8 y 9 de Ashcroft y Mermin de la Física del Estado Sólido. Los argumentos que aquí se presenta se explican en gran matemático detalle.

Answer 2

Si sólo hay una banda con un máximo en el BZ, este punto es uno de los de alta simetría de los puntos de la BZ. Sin embargo, puede haber casos donde hay muchos puntos que son una banda máximo y no uno de los de alta simetría de los puntos de la BZ. Estos puntos, sin embargo, están conectados por una operación de simetría.

Un ejemplo de un sistema con la banda de los mínimos de distancia de la simetría de los puntos son quizás un poco esotérico, como aislantes topológicos, bidimensional de electrones de gases, ... En este caso, el acoplamiento spin-órbita es responsable de la "división" de la banda mínimo en dos puntos que están conectados a través de simetría quiral. (Referencia: acoplamiento Spin-órbita en cuántica de los gases, vea la figura 1)

Para entender la conexión entre la banda maxima y simetrías, tomemos el conjunto de operaciones de simetría $\Pi_i$ del grupo de simetría del material. Supongamos ahora que el punto de $\mathbf{k}^*$ es una banda máximo (o mínimo). En este caso, la simetría de los puntos de $\Pi_i \mathbf{k}^*$ $\Pi_i^n \mathbf{k}^*=(\Pi_i\dots\Pi_i) \mathbf{k}^*$ también son de la banda de máximos (o mínimos), por la sencilla razón de que la energía es el mismo $E(\Pi^n_i \mathbf{k}^*)=E(\mathbf{k}^*)$.

Excluyendo accidental degeneraciones, sólo hay dos casos:

1) No es una banda máximo $\mathbf{k}^*$ que es una alta simetría de punto respecto a todas las transformaciones $\Pi_i$ del grupo de simetría (normalmente, el centro de la BZ). En este caso, $\Pi_i\,\mathbf{k}^*=\mathbf{k}^*$ (y también a $\Pi^n_i \mathbf{k}^*=\mathbf{k}^*$ para cualquier entero $n$).

2) Hay muchos de la banda maxima, que están conectados uno al otro a través de una simetría transformación de $\Pi_i^n$ del grupo de simetría.

Por lo tanto, puede haber casos donde hay varios puntos que son de la banda de máximos (o mínimos) y no en uno de los de alta simetría de los puntos de la BZ. En este caso, estos puntos están conectados por una operación de simetría. Se puede considerar sin embargo, el irreductible BZ, que es la primera zona de Brillouin reducido por todas las simetrías en el grupo de puntos de la rejilla. Ya que todos maxima están conectados por una simetría de funcionamiento, no puede ser sólo una banda máximo (o mínimo) en la irreductible BZ.

EDITAR: Sin embargo, es a menudo el caso de que la estructura de banda muestra a la banda mínimo en el centro de la BZ. Esto puede ser explicado por el simple hecho de que en una amplia gama de materiales, como metales, semiconductores y aisladores convencionales, la estructura de bandas se describe bien en casi electrones libres aproximación. En estos materiales, la repulsión de Coulomb entre los electrones y otro tipo de interacciones puede ser descuidado, y uno se queda con un simple Hamiltonianos que contiene sólo las interacciones entre los electrones y el entramado $$ H =-\frac{\manejadores^2}{2m}\nabla^2+\lambda V(\mathbf{r}), $$ donde el primer término es la energía cinética de los electrones y $V(\mathbf{r})$ es el Coulomb atracción entre los electrones y los iones de celosía. Los niveles de energía pueden ser escritas en este caso como $$ E_k = \frac{\manejadores^2 k^2}{2 m} + O(\lambda) $$ donde $O(\lambda)<0$ es la corrección a la cinética plazo, debido a que el electrón-red de interacción. Este término es negativo, ya que la energía de electrón-red del sistema es menor que la energía de un sistema formado sólo por los electrones en el vacío. Si la corrección es pequeña, y la cinética término es el orden de líder en energía, uno tiene la bien conocida parabólico dispersión $E\propto k^2$ que es una buena aproximación cerca del centro de la BZ $k=0$, que es también el mínimo de energía. Por lo tanto, en el casi de electrones libres aproximación se mantiene, y el electrón-ion interacción es pequeño, la banda mínimo está en el centro de la BZ. Un semiclásica interpretación de este resultado es que la energía es mínima cuando los electrones no se mueven ($\mathbf{k}=0$).

Esto se traduce también se mantiene si se toma en cuenta un número finito de electrón-ion de la interacción (el término de corrección de $O(\lambda)$), al menos en materiales con alta simetría (por ejemplo, red cúbica). En este caso, la dispersión de electrones se modifica y es proporcional a los cosenos de los momentum $\mathbf{k}$ componentes (por ejemplo, en el estrecho de unión de enfoque).

En el caso de sistemas fuertemente correlacionados (por ejemplo, Mott aislantes) o en sistemas donde el acoplamiento spin-órbita es relevante (topológica de los aisladores, los elementos pesados con parcialmente lleno de $f$-conchas) la casi electrones libres aproximación falla y la banda mínimo puede ser ya no está en el centro de la BZ. El más estudiado contraejemplos de una estructura de banda en el que el grupo mínimo es de lejos el BZ entrar son los aislantes topológicos.