Confusión en un truco en la solución de un eigenfunction de energía

Question

Dado un no-relativista de la energía eigenfunction para un potencial central $\left|\Phi \right>$

En la solución relativista átomo de hidrógeno, uno de los términos es

$$ \left<\Phi\medio|\frac{e^2}{r}\medio|\Phi\right> \etiqueta{1} $$

He leído un truco para resolver es:

$$ \left<\Phi\medio|\frac{e^2}{r}\medio|\Phi\right> =\left<\Phi\medio|\frac{-e}{2}\frac{\partial}{\partial e}\left[\frac{\hat {P}^2}{2m}-\frac{e^2}{r}\right]\medio|\Phi\right> = \left<\Phi\medio|\frac{-e}{2}\frac{\partial}{\partial e}\medio[\hat {H}\medio|\Phi\medio>\right]\etiqueta{2} $$

y se da el valor correcto $$-\frac{me^4}{\hbar^2n^2} .\tag{3}$$

Con el fin de entender este truco, he intentado esto en otro término:

$$ \left<\Phi\medio|\frac{e^4}{r^2}\medio|\Phi\right> =\left<\Phi\medio|\frac{e^2}{r} \frac{e^2}{r}\medio|\Phi\right> =\left<\Phi\medio|\frac{e^2}{4}\left[\frac{\partial}{\partial e}\left(\frac{P^2}{2m}-\frac{e^2}{r}\right)\right)^2\medio|\Phi\right> ,\etiqueta{4} $$ asumiendo $(\frac{\partial}{\partial e}\hat{H})^\dagger = \frac{\partial}{\partial e}\hat{H}$.

entonces esto es igual a

$$ \left<\frac{e}{2}\frac{\partial}{\partial e} \left(\frac{\hat{P}^2}{2m}-\frac{e^2}{r}\right)\Phi\right|\left|\frac{e}{2}\frac{\partial}{\partial e}\left(\frac{\hat{P}^2}{2m}-\frac{e^2}{r}\right)\Phi\right> = \left(\frac{me^4}{\manejadores^2n^2}\right)^2 .\la etiqueta{5} $$ Sin embargo, desde este mismo plazo se supone que nos dicen cómo el efecto relativista destruir la simetría, mientras que este resultado no nos da ninguna degeneraciones romper. Como resulta, la respuesta correcta de este término es $$\frac{m^2e^4}{(\ell+1/2)\hbar^4n^3}.\tag{6}$$

Me toma tanto tiempo que todavía no puedo averiguar donde está mal, sospecho $\frac{\partial}{\partial e}\hat{H}$ no es Hermitian.

Answer 1

La teoría detrás de el truco se basa en el Hellmann-Feynman (HF) teorema $$ \frac{dE_{\lambda}}{d\lambda}~=~\langle \psi_{\lambda} | \frac{d\hat{H}_{\lambda}}{d\lambda}| \psi_{\lambda} \rangle,\tag{A}$$ que trabaja con un único derivado, pero no con un cuadrado de un derivado, cf. OP error de cálculo (5) por la expectativa de valor de $\langle\frac{1}{r^2}\rangle$. Por cierto en la página de la Wikipedia, el resultado correcto (6) por $\langle\frac{1}{r^2}\rangle$ es obtenido a través de la HF teorema variando wrt. el número cuántico azimutal $\ell$ más que la carga eléctrica $e$. (Sobre una sutileza en la variación wrt. $\ell$, ver también esta relacionada con Phys.SE post.)