¿Por qué es la homología de Hochschild de k a k [t] [t] en grados 0 y 1?

Question

Antecedentes: la homología de Hochschild de un álgebra asociativa es la homología de los complejos

$$ \ldots \longrightarrow A \otimes A \otimes A \longrightarrow A \otimes A \longrightarrow A$$

donde los dos últimos diferenciales son $$a \otimes b \otimes c \mapsto ab \otimes c-a \otimes bc + ca \otimes b$$ and $un \otimes b \mapsto ab-ba$, y usted puede adivinar el resto. Más en general, de la "deriva coinvariants": tomar una resolución proyectiva de su álgebra, entonces coinvariants de que.

Para $k[t]$, la homología de Hochschild se concentra en los grados 0 y 1, y en ambos grados es $k[t]$. Sé que puedo ir a buscar Loday (\S 3.2.2) y encontrar un cálculo, pero me gustaría una explicación mejor.

Sé que el cero-th homología de Hochschild $\operatorname{HH}_0(k[t])$ sólo debe ser $k[t]$, porque el cero-th homología de Hochschild es sólo coinvariants, y $k[t]$ es conmutativa.

Lo que me gustaría es una "buena" explicación de $\operatorname{HH}_1(k[t])$.

Edit: Ben tiene una simple explicación a continuación. Permítanme también reformular la pregunta, esperando algo más. Aquí hay un par de cosas: Si $A$ es semisimple, entonces $\operatorname{HH}_{\ast}(A)$ se concentra en el grado 0. Hay algo acerca de $k[t]$ que asegura que se concentra en los grados 0 y 1? Por el contrario, puedo concluir nada acerca de la $A$ a partir del hecho de que $\operatorname{HH}_{\ast}(A)$ es cero por encima de $\ast=1$?

Answer 1

Tal vez sea error de mi parte para agregar esta separado en una respuesta, pero es un pensamiento independiente.

Si usted lee el papel de Geordie Williamson y escribí sobre el tema, verás que nuestros teoremas identificar la homología de Hochschild de k[t] con el equivariant cohomology de la circunferencia con un trivial círculo de acción. Por lo tanto, los bits en el grado 0 y 1 corresponden a la cohomology de la circunferencia, y el hecho de que usted obtenga k[t] en cada uno se corresponde con el hecho de que k[t] es el cohomology de la clasificación del espacio del círculo como un grupo topológico.

De hecho, hay una generalización de este a todos los Soergel bimodules (se explica en el artículo de arriba), que dice que la homología de Hochschild de cualquier irreductible Soergel bimodule tiene esta forma cuando el cohomology del círculo es reemplazado por la intersección cohomology de la clausura de un Bruhat celular BwB en el grupo correspondiente.

Answer 2

Otra forma de escribir la homología de Hochschild es como sigue:

tomar como un bimodule sobre sí mismo, tome una resolución libre como un bimoduley, a continuación, aplicar el functor de coinvariants ($M \mapsto M/\langle rm-mr|r\in A\rangle$).

Su definición se utiliza el "bar del complejo de la" resolución de la forma $\to A \otimes A \otimes A \to A \otimes A$ pero k[t] tiene una mucho mejor resolución como un bimodule sobre la misma, la Koszul resolución.

Este es de la forma $k[t] \otimes k[t] \to k[t] \otimes k[t]$ con el mapa dado por $1 \otimes t - t \otimes 1$, por lo que al aplicar coinvariants, se obtienen dos copias de $k[t]$ con trivial diferencial.

En realidad todos los Koszul álgebras de tener una buena resolución de la diagonal bimodule, y por lo tanto es más fácil calcular su homología de Hochschild, aunque en general, que no siempre tienen trivial diferencial después de aplicar coinvariants.

EDIT: Para la posterior pregunta, probablemente las mejores respuestas que te dan son de HKR, aunque sólo señalar que la dimensión global de $k[t] \otimes k[t]$ es de 2 consigue a mitad de camino.

EDITAR de NUEVO: en Realidad, cualquier Koszul álgebra tiene su homología de Hochschild acotada arriba por su dimensión global. Esto es claro a partir de la existencia de la diagonal de Koszul resolución.

Answer 3

Si usted está buscando en la homología de Hochschild de álgebras CONMUTATIVAS (como en tu ejemplo) hay una muy simple geométrico general de la explicación, la Hochschild-Kostant-Rosenberg teorema: la homología de Hochschild de Un es es simplemente el exterior álgebra de formas diferenciales (colocado en homológica grado). Dicho de manera más formal: Sym Omega^1[1] -- álgebra simétrica en el pasado módulo de 1-formas (de la que hace un exterior de álgebra). Lo bueno de esta forma de la respuesta es que no requiere ser suave, si usted interpretar Omega^1_A correctamente - es decir, como la cotangente complejo de Una.. esto es debido a Quillen en el magnífico corto del papel "En la (co)homología de anillos conmutativos". De todos modos esto le da una explicación general de los ejemplos anteriores.

Answer 4

Existe algo sobre k [t] que lo asegura está concentrada en grados 0 y 1.

Sí: es una álgebra asociativa libre - por eso sólo tiene homología de 0 y 1.

Answer 5

HH^2(a) es igual a las deformaciones de la multiplicación de Un módulo de trivial deformaciones (ver, por ejemplo, http://arxiv.org/pdf/hep-th/9408064v2), así que si existe un modo para ver que k[t] sólo había trivial deformaciones sin calcular HH^2, entonces tal vez esto podría responder a sus revisado pregunta. HH^k es similar relacionado a k-deformaciones (cuya definición se me olvida; es posible que requiera Un infinito punto de vista), así que tal vez este enfoque de trabajo para la mayor Hochschild cohomology así.

Estoy satisfecho por Ben primera respuesta, aunque.