¿Es el grupo libre sobre un conjunto vacío definido?

Question

Supongo que el grupo libre sobre un conjunto vacío es el grupo sea trivial o no está definido. Se agradecería alguna aclaración.

Answer 1

Está definido. Libre de los grupos definidos para cualquier conjuntos por el universal siguiente propiedad:

Deje $S$ ser un conjunto. Un grupo de $F(S)$ con un mapa de $\iota\colon S\rightarrow F(S)$ es llamada gratuita a través de $S$, si por cualquier grupo de $H$ y cualquier mapa de $g\colon S\rightarrow H$ no es exactamente un grupo homomorphism $h\colon F(S)\rightarrow H$, de tal manera que $g=h\circ\iota$.

(Con este universal de los bienes, el grupo libre sobre un conjunto fijo se define hasta el isomorfismo y una opción posible en este isomorfismo clase es sólo la construcción con "palabras" en $S$, lo que probablemente saber).

Vamos a probar esto para el conjunto vacío $\emptyset$. La suposición era, que podría ser el trivial grupo$\{0\}$, con la única posible mapa de $\iota\colon \emptyset\rightarrow \{0\}$, es decir, el mapa vacío. Así que vamos a $H$ ser un arbitrarias grupo y $g\colon \emptyset\rightarrow H$ un mapa. Puesto que no hay tal mapa, excepto el mapa vacío, h debe ser el mapa vacío. Ahora estamos buscando un grupo de homomorphism $h\colon \{0\}\rightarrow H$, de tal manera que $g=h\circ\iota$. Ya que no es exactamente un grupo homomorphism de $\{0\}$ a otro grupo, a saber, el uno, que envían $0$ para el elemento neutro de $H$ $g=h\circ\iota$ mantiene para este mapa (ambos lados son sólo el mapa vacío), obtenemos el resultado: El grupo libre sobre el conjunto vacío es sólo el trivial grupo.

Si tienes conocimientos básicos de la categoría de teoría, usted podría hacer esto de manera más elegante y las cosas se vuelven más naturales.

Answer 2

Versión corta: Es la trivial grupo. El único elemento que es la palabra vacía.

Versión larga: elaborar, escribimos el conjunto de palabras en $A$ $\mathfrak{W}_A$ (considerado como el monoid generado por $A\cup A^{-1}$ bajo concatenación) y el grupo libre en $A$$\mathfrak{F}_A$. $$\newcommand{\ra}[1]{\kern-1.5 ex\xrightarrow{\ \ #1\ \ }\phantom{}\kern-1.5 ex} \newcommand{\ras}[1]{\kern-1.5 ex\xrightarrow{\ \ \smash{#1}\ \ }\phantom{}\kern-1.5 ex} \newcommand{\da}[1]{\bigg\downarrow\subir.5ex\rlap{\scriptstyle#1}} \begin{array}{ccc} \mathfrak{W}_\emptyset & \ra{\delta} & \mathfrak{F}_\emptyset \\ & \searrow & \da{\mu}\\ & & 1 & \end{array}$$ Mientras que $\delta:\mathfrak{W}_A\rightarrow \mathfrak{F}_A$ generalmente no es inyectiva (desde $\mathfrak{F}_A$ es el conjunto de clases de equivalencia de forma cíclica reducido de palabras), en este caso, la única palabra con las letras en $\emptyset$ es la palabra vacía, así que en realidad $\delta$ es un isomorfismo (de los grupos!), como es $\mu:\mathfrak{F}_\emptyset\rightarrow 1$ por las mismas razones.

Answer 3

Izquierda adjoints preservar colimits, en particular los colimits vacíos, es decir, los objetos iniciales. En particular, el functor libre Grupo lleva el conjunto inicial, es decir, $\emptyset$, el grupo inicial, es decir, el Grupo trivial. Otro ejemplo: el polinomio sin variables es el anillo base.

A debe Lea: vacuidad sexy

Answer 4

Mi conjetura es que sería un grupo con un solo elemento. Debe haber resultados acerca de qué productos directos de los grupos tiene que ver con los conjuntos de generadores. Lo que sucede cuando usted toma directa de producto libre de no generadores y por lo tanto no hay relaciones, con un grupo con otros que se especifiquen conjunto de generadores y relaciones?

PS: Por ahora, me he golpeado "directo", pero la izquierda es visible, mientras que la sustitución de "libre". Pero podría funcionar igual de bien, de cualquier manera?

PPS: 15 minutos, me iba a post que por la retrospectiva, yo sin duda debe haber dicho "producto libre". He pasado los últimos 15 minutos de intentar iniciar sesión, sin éxito. Ahora estoy fuera de tiempo para un par de horas, así que tal vez en dos o tres horas me voy a intentarlo de nuevo.