La secuencia de los números con la factorización prima de $pq^2$

Question

He estado considerando la secuencia de los números naturales con la factorización prima de $pq^2$, $p\neq p$; comienza 12, 18, 20, 28, 44, 45, ... y es A054753 en OEIS. Tengo dos preguntas:

1. ¿Cuál es la pista más larga (larga que consta de enteros consecutivos)?

   La primera ejecución de longitud 3 es 603, 604, 605. Hay otra de 256 pistas de longitud 3, y ya no se ejecuta, menos de $10^7$. Puede ser demostrado que se ejecuta de longitud 4 y 5 no son posibles?

   Todo lo que he conseguido es que se ejecuta de longitud 6 son imposibles (porque uno de los números que tendría que tener 6 como un factor), y que cualquier carrera de longitud 5 debe consistir de los números $48k+i$ $k$ y $i=1 \dots 5$.

2. Hay más pares o impares números en la secuencia? Más específicamente, ¿cuál es la relación asintótica, $\rho=\lim\limits_{N\to\infty}E_N/O_N$, el número de incluso los elementos para el número impar de elementos menos de $N$.

   Los siguientes dos gráficos que sugieren que $E_N$ supera los $O_N$ grandes $N$. La primera de las parcelas de $E_N-O_N$, y el segundo de $E_N/O_N de dólares, contra$N$. Parece que incluso los números, finalmente, ganar la preponderancia de buena a$N=222436$.

   

   

Todo lo que he logrado determinar es que $E_N \sim\frac{N}{4 \log \left(\frac{N}{4}\right)}+\frac{\sqrt{2N}}{\log \left(\frac{N}{2}\right)}$. También estoy bastante seguro de $O_N$ también $\Theta(\frac{N}{\log N})$ y por tanto $\rho$ es una constante.

Yo no soy un número teoría de expertos (más de un aficionado combinatorialist), así que no tengo ni idea de lo difícil a estas preguntas. Cualquier visión sería recibido con gratitud.

Answer 1

Para contestar la pregunta 1, si $n = 266667848769941521$, entonces

$$\begin{align*} n & = 7^2 \cdot 5442200995304929,\\ n+1 y = 365149181^2 \cdot 2,\\ n+2 y = 3^2 \cdot 29629760974437947,\\ n+3 y = 2^2 \cdot 66666962192485381,\\ n+4 y = 5^2 \cdot 10666713950797661. \end{align*}$$

Answer 2

Edit: El esquema de la prueba que he publicado anteriormente era difícil de seguir, y se omite una enorme cantidad de detalles. Este ha sido actualizada y mucho se ha añadido, sin embargo, algunos detalles todavía se omite.

Pregunta 2:

Ya sabemos que $$E_n\sim \frac{1}{4}\frac{x}{\log x},$$ sólo tenemos que encontrar un asintótica para $\sum_{pq^2\leq x} 1$, el número de enteros de la forma $pq^2$ menos de $x$.

Teorema: Tenemos que $$\sum_{\begin{array}{c} n\leq x\\ n=pq^{2} \end{array}}1=\sum_{pq^2\leq x} 1 \sim \frac{x}{\log x}\sum_{p} \frac{1}{p^2}.$$

Heurístico: Si nos fijamos en el caso de que uno de los primos fue de $2$, tenemos el asintótica $\frac {1}{4} \frac{x}{\log x}$. De la misma manera, si uno de los números primos deben ser de $3$ tenemos $\frac {1}{9} \frac{x}{\log x}$ y si uno de los números primos deben ser de $5$ tenemos $\frac {1}{25} \frac{x}{\log x}$. Recapitulación de todo lo que se da entonces $\sum_p \frac{1}{p^2}$ como la constante.

Prueba:

Paso 1: en Primer lugar, se demuestra que $$\log x\sum_{pq^2\leq x} 1\sim \sum_{pq^2\leq x} \log (pq^2).$$ Claramente $\log x\sum_{pq^2\leq x}1\geq \sum_{pq^2\leq x} \log (pq^2)$. En el otro sentido vamos a $2\leq f(x)\leq x$ ser algo pronto para ser elegido función. Entonces $$\sum_{pq^{2}\leq x}\log(pq^{2})\geq\sum_{f(x)<pq^{2}\leq x}\log(pq^{2})\geq\log\left(f(x)\right)\sum_{f(x)<pq^{2}\leq x}1.$$ Tomando $f(x)=\frac{x}{\log^{2}x}$, vemos que $$\log\left(f(x)\right)\sum_{f(x)<pq^{2}\leq x}1\sim\log x\sum_{pq^{2}\leq x}1.$$ Desde $\sum_{pq^2\leq x} \log (pq^2)$ es bordeada por encima y por debajo por algo asintótica $\log x\sum_{pq^2\leq x} 1$ llegamos a la conclusión de la deseada asintótica.

Paso 2: Podemos demostrar que $$\sum_{pq^2\leq x} \log (q^2) =o(x).$$ Reordenando tenemos $$\sum_{pq^{2}\leq x}\log\left(q^{2}\right)=2\sum_{p\leq x}\sum_{q\leq\sqrt{\frac{x}{p}}}\log\left(q\ \ derecho).$$ Chebyshevs estimación da $\sum_{q\leq u}\log\left(q\ \ derecho)\ll u$ entonces $$\sum_{pq^{2}\leq x}\log\left(q^{2}\right)\ll\sum_{p\leq x}\sqrt{\frac{x}{p}}=\sqrt{x}\sum_{p\leq x}\frac{1}{\sqrt{p}}.$$ Deje de $2\leq f(x)\leq x$ ser algo pronto para ser elegido función. Luego dividiendo vemos que $$\sqrt{x}\sum_{p\leq x}\frac{1}{\sqrt{p}}\leq\sqrt{x}\sum_{n\leq f(x)}\frac{1}{\sqrt{n}}+\sqrt{x}\sum_{f(x)<p\leq x}\frac{1}{\sqrt{p}}.$$ Por el teorema de los números primos y parcial de la suma de $$\sqrt{x}\sum_{f(x)<p\leq x}\frac{1}{\sqrt{p}}=\sqrt{x}\int_{f(x)}^{x}\frac{1}{\sqrt{t}\log t}dt+O\left(xe^{-c\sqrt{\log f(x)}}\right)$$ así que si tenemos $f(x)=\frac{x}{\log^{2}x}$ con algunos cálculos podemos encontrar $$\sqrt{x}\sum_{p\leq x}\frac{1}{\sqrt{p}}\ll\frac{x}{\log x}=o(x).$$

Paso 3: Hacemos uso de la hipérbola método para demostrar que $$\sum_{pq^2\leq x} \log (p)\sim x \sum_{p} \frac{1}{p^2}.$$ Aunque es sencillo ¿por qué deberíamos tener este asintótica, la hipérbola método y la división de la suma debe ser utilizado para controlar el término de error. Tenemos que $$\sum_{pq^{2}\leq x}\log(p)=\sum_{q^{2}\leq x}\sum_{p\leq\frac{x}{q^{2}}}\log p=\sum_{q^{2}\leq f(x)}\sum_{p\leq\frac{x}{q^{2}}}\log p+\sum_{f(x)<q^{2}\leq x}\sum_{p\leq\frac{x}{q^{2}}}\log p$$

$$=\sum_{q^{2}\leq f(x)}\sum_{p\leq\frac{x}{q^{2}}}\log p+\sum_{p\leq\frac{x}{f(x)}}\log p\sum_{f(x)<q^{2}\leq\frac{x}{p}}1.$$

El primer número teorema de $$\sum_{p\leq\frac{x}{q^{2}}}\log p=\frac{x}{q^{2}}+O\left(\frac{x}{q^{2}\log\left(\frac{x}{q^{2}}\right)}\right)=\frac{x}{q^{2}}+O\left(\frac{x}{q^{2}\log\left(\frac{x}{f(x)}\right)}\right)$$ donde el último término viene del hecho de que $p^{2}\leq f(x)$. Entonces

$$\sum_{q^{2}\leq f(x)}\sum_{p\leq\frac{x}{q^{2}}}\log p=x\sum_{q^{2}\leq f(x)}\frac{1}{q^{2}}+O\left(\frac{x}{\log\left(\frac{x}{f(x)}\right)}\sum_{q\leq f(x)}\frac{1}{q^{2}}\right)=x\sum_{q}\frac{1}{q^{2}}+O\left(\frac{x}{\log\left(\frac{x}{f(x)}\right)}+\frac{x}{\sqrt{f(x)}}\right).$$

Para la suma, por chebyshevs estimado de $$\sum_{p\leq\frac{x}{f(x)}}\log p\sum_{f(x)<q^{2}\leq\frac{x}{p}}1\ll\frac{1}{\log\left(\sqrt{f(x)}\right)}\sum_{p\leq\frac{x}{f(x)}}\registro p\left(\sqrt{\frac{x}{p}}\right).$$ Tomando $f(x)=\frac{x}{\log x}$ obtenemos $$\sum_{pq^{2}\leq x}\log(p)=x\sum_{q}\frac{1}{q^{2}}+o(x)$$ como se desee.

La Combinación De Los Pasos 1-3:

Paso 1 tenemos $$\sum_{pq^2\leq x} 1\sim \frac{1}{\log x}\sum_{pq^2\leq x} \log(pq^2) =\frac{1}{\log x}\sum_{pq^2\leq x} \log(p)+\frac{1}{\log x}\sum_{pq^2\leq x} \log(q^2).$$ La aplicación de los pasos 2 y 3 para el lado derecho, vemos que $$\sum_{pq^2\leq x} 1 \sim \frac{x}{\log x} \sum_p \frac{1}{p^2}$$ demostrando nuestro asintótica.

Consecuencias: entonces Tenemos que $$O_N\sim \frac{N}{\log N} \sum_{p>2} \frac{1}{p^2}.$$ Aviso esto significa que $E_N>O_N$, y la proporción es de $$\frac{O_N}{E_N}\sim 4\sum_{p>2} \frac{1}{p^2}.$$

Para mantenerse en línea con el gráfico anterior, $$\frac{E_N}{O_N}\sim \frac{1}{4\sum_{p>2} \frac{1}{p^2}}$$

Comentario acerca de la prueba: La prueba de este hecho se basa libremente en algunas ideas en E. M. Wright 1951 papel "Una Simple Prueba de un Teorema de Landau." Que el papel se ve en $\sum_{pq\leq x}$ 1 y el más alto de los productos.

Answer 3

Pregunta 1:

El siguiente método puede ser utilizado para encontrar pistas de longitud 4 o 5:

Cualquier carrera de la longitud de 4 o más contiene un elemento $a$ que $a \bmod 4 \equiv 2$, entonces $a=2p^2$ por algunos de los mejores $p$.

Ya que, para todos los primos p $>5$, $p^2\bmod120\in\{1,49\}$, tenemos que $a=240k+2$ o $240k+98$ $k$.

También tenemos que $a-2$ o $+2$ es en la carrera y es igual a $4t$ por algunos de los mejores $p$. Dado que ninguno de $240k/4$, $(240k+96)/4$ y $(240k+100)/4$ es primo, sabemos que $a=240k+2$ y que la carrera contiene $a$, $+1$ y $un+2$, con $un+1=9r$ o $3r^2$ por algunos de los mejores $r$. También, si $a+3$ es en el de ejecución, que equivale a $25$ o $5s^2$ por algunos de los mejores $s$.

Para cada uno de los prime $p$, con $a=2p^2$, comprobamos lo siguiente:

1. Es $a\equiv2\pmod{240}$?
2. Es $a(a+2)/4$ prime?
3. Es $a(a+1)/9$ o $\sqrt{(a+1)/3}$ un primo?
4. Es $a(a+3)/25$ o $\sqrt{(a+3)/5}$ un primo?
5. No $a-1$ primordial de la descomposición de la forma $uv^2$?

Si todas las 5 pruebas de tener éxito, tenemos una racha de longitud 5; si las pruebas 1-4, o pruebas de 1-3 y 5, de tener éxito, tenemos una carrera de duración 4.

Los 16 carreras de la longitud de cinco a menos de $7 \times 10^{18}$ comienzan con los números:

$$\begin{align*} 10093613546512321&=7^2\times 205992113194129 \\ 14414905793929921&=7^2\times 294181750896529 \\ 266667848769941521&=7^2\times 5442200995304929 \\ 562672865058083521&=7^2\times 11483119695062929 \\ 1579571757660876721&=7^2\times 32236158319609729 \\ 1841337567664174321&=7^2\times 37578317707432129 \\ 2737837351207392721&=7^2\times 55874231657293729 \\ 4456162869973433521&=7^2\times 90942099387212929 \\ 4683238426747860721&=7^2\times 95576294423425729 \\ 4993613853242910721&=7^2\times 101910486800875729 \\ 5037980611623036721&=7^2\times 102815930849449729 \\ 5174116847290255921&=7^2\times 105594221373270529 \\ 5344962129269790721&=23^2\times 10103898164971249 \\ 5415192610051711921&=7^2\times 110514134899014529 \\ 6478494344271550321&=7^2\times 132214170291256129 \\ 6644601589030969921&=7^2\times 135604114061856529 \end{align*}$$