Deje $R$ ser un anillo. Decir que un $R$-álgebra $A$ $R$-proyectiva si tiene la izquierda de elevación de la propiedad con respecto a surjections de $R$-álgebras: esto es, siempre que $B \to C$ es un surjection de $R$-álgebras, a continuación, $\hom_R(A, B) \to \hom_R(A, C)$ es un surjection. Un polinomio de álgebra es un ejemplo de un proyectiva $R$-álgebra, y por el contrario cualquier proyectiva $R$-álgebra tiene que ser un retractarse de un polinomio de álgebra (por el mismo argumento como para los módulos). Es sabido que cualquier proyectiva módulo a través de un PID es libre. Por el contrario, es cierto que cualquier proyectiva álgebra sobre un PID es gratis?
Un poco de historia: La Lazard anillo de $L$ es un anillo con la característica universal que $\hom(L, R)$ es natural bijection con el grupo formal de las leyes sobre $R$. No es un hecho obvio de que $L$ es un polinomio de anillo en una contables conjunto de generadores, y es por lo tanto una "proyectiva anillo"; por lo tanto si $A \to B$ es un surjection de anillos, entonces cualquier grupo formal de la ley en $B$ puede ser elevada a una en $A$. No sé cómo probar esto directamente, pero tengo la curiosidad de si, si lo hacía, sería claro que $L$ tiene que ser libre.
(Por cierto, lo que sucede en el no conmutativa caso, donde "polinomio" es reemplazado por "libre asociativo"?)
