¿Si es continua en $f(x)$$[a,b]$ y $M=\max \; |f(x)|$, es $M=\lim \limits_{n\to\infty} \left(\int_a^b|f(x)|^n\,\mathrm dx\right)^{1/n}$?

Question

Que $f(x)$ ser una función real-valued continua en $[a,b]$ y $M=\max\{|f(x)| \; :\; x \in [a,b]\}$. Es cierto que: $$ ¿M = \lim_{n\to\infty}\left (\int_a^b|f (x) | ^ n\, \mathrm dx\right) ^ {1/n}? $$

¡Gracias!

Answer 1

Poner $S_{\delta}:=\{x\in\left[a,b\right], |f(x)|\geq M-\delta\}$ para cualquier $\delta>0$. Entonces tenemos para todos $n$ % $ $$M\cdot (b-a)^{\frac 1n}\geq\left(\int_a^b|f(x)|^ndx\right)^{\frac 1n}\geq \left(\int_{S_{\delta}}|f(x)|^ndx\right)^{\frac 1n}\geq (M-\delta)\left(\lambda(S_{\delta})\right)^{\frac 1n}.$$f$es continua, la medida del $S_{\delta}$ es positivo y el $\liminf$ y $\limsup$, podemos ver que $$M\geq \limsup_n \left(\int_a^b|f(x)|^ndx\right)^{\frac 1n}\geq M-\delta\quad \mbox{and }\quad M\geq \liminf_n\left(\int_a^b|f(x)|^ndx\right)^{\frac 1n}\geq M-\delta$ $% los $\delta>0$, que $\lim_{n\to\infty}\left(\int_a^b|f(x)|^ndx\right)^{\frac 1n}=M$.