Aquí hay una posible línea de enfoque, sólo falta la visión de por qué
$(d+1)\frac{n}{b^d-1}$ debe $1$.
Si la base de $b$ representación de un número $n$ es cíclico de (exacta) de longitud $d\geq\lceil{\log_b n}\rceil$ (con la desigualdad de los ceros a la izquierda),
luego la primera a la $d$ múltiplos consecutivos de $n$, $\{kn|1\leq k\leq d\}$,
de escape (es decir, están en bijection con) todos los ciclos, que a su vez
corresponden bijectively con la repetición de base-$b$ expansiones de
$\frac{kn}{b^d-1}\in(0,1)$.
Su suma satisface
$$
\frac{b^d-1}{b-1}s=
\frac{d(d+1)}{2}n
\qquad\text{donde}\qquad
s=d\frac{b-1}{2}\frac{(d+1)n}{b^d-1}\in\mathbb{N}
$$
es la suma de la base-$b$ dígitos de $n$.
Ya que cada dígito se entre $0$$b-1$,
$s$ debe estar entre $0$ $d(b-1)$ incluido.
Sin embargo, por la suma de $s$, el rango debe ser exclusivo (para $b>2$),
ya que de lo contrario las cifras se ser la misma ($0$ o $b-1$)
y $d$ tendría que ser $1$. Así tenemos
$$0<\frac{s}{d}=\frac{b-1}{2}\frac{(d+1)n}{b^d-1}<b-1$$
$$0<0.\overline{n_{d-1}\dots n_0}=\frac{(d+1)n}{b^d-1}<2$$
donde la mitad de las cantidades en la primera y segunda líneas de
el valor promedio de $\frac{1}{d}\sum a_i$ -$b$ dígitos de $n$,
y la fracción obtenida a partir de la repetición de los dígitos de
$n=\sum_0^{d-1}a_ib^i$ después de la base-$b$ punto decimal,
respectivamente. Estas cantidades son números racionales, pero
no se garantiza que ser números enteros. Lo que queremos mostrar, sin embargo, como veremos,
es que la última cantidad es en realidad un entero, y por lo tanto $1$.
Supongamos que $d>1$, $d$ es mínima, en el
sentido de que el $n$ no es la repetición de una o descomponible ciclo:
$$
\nexists c\vert\;d,
\quad 1<c<d
\quad(c\;\text{una adecuada divisor de}\;d)
\quad\text{con}
\quad\frac{b^{d}-1}{b^c-1}\vert\;n.
$$
También debemos señalar que $s\equiv n\pmod{b-1}$,
es decir, que $\frac{n-s}{b-1}\in\mathbb{Z}$,
desde cada base-$b$ dígitos de $n$ permanece fijo modulo $b-1$
cuando se multiplica por su respectivo positivo de alimentación de $b$.
En realidad nos quieren mostrar que
$$n=\frac{b^d-1}{d+1}
\qquad\text{que}\qquad
t=\frac{b^d-1}{n}=d+1\in\mathbb{N}$$
es, de hecho, el primer con $b$ como raíz primitiva.
Quizás no es un buen argumento de por qué $s=d\frac{b-1}{2}$ se encuentra exactamente en el medio (el valor esperado) del rango establecido o, equivalentemente,
que el valor promedio de los dígitos de $n$ base $b$$\frac{b-1}{2}$, o
que la primera no cíclicos múltiples de $n$ (que sabemos que es el $d+1^\text{th}$) satisface $(d+1)n=b^d-1$ ($b-1$ veces el repunit de longitud $d$).
Ciertamente sabemos que la secuencia de $\{kn\}_{k=1}^d$ es creciente y acotada por $b^d$ (ya que cada término tiene en la mayoría de las $d$ dígitos de la base de $b$). Por lo tanto, se debe corresponder con el orden lexicográfico de cíclicamente desplazado longitud-$d$ cadenas de partida con $n$, ceros si es necesario (es decir, si $b^{d-1}>n$). Y desde $(d+1)n=dn+n$ es la suma de la más pequeña y la más grande de estos cambios cíclicos, su primer dígito debe ser también la suma de la más pequeña y la más grande de dígitos de $n$ (a menos que lleve a aumentos de la suma a $\geq b^d$).
Si tenemos que recurrir a un examen en más de detalle de los productos de $\{kn\}_{k=1}^d$ y su relación con la base-$b$ cambios de $n$, no necesitamos recurrir a la nomenclatura $n$'s dígitos. Podemos, en lugar de confiar en el algoritmo de la división, y tenga en cuenta que si
$$
n=q_k b^k+r_k
\quad\text{con}\quad
\left\{\begin{matrix}
q_k=\lfloor{b^{-k}n}\rfloor,\\
r_k=n-b^kq_k
\end{de la matriz}\right.
\quad\text{para}\quad
0\leq k\leq d
\quad\text{si}\quad
n_k=r_k b^{d-k}+q_k,
$$
a continuación, $\{n_k\}_{k=1}^{d-1}$
es una permutación de $\{nk\}_{k=1}^{d-1}$.
Tenga en cuenta que si $n$ $n_k$ se identifican con
las cadenas de $d$ letras del alfabeto $\{0,\dots,b-1\}$,
a continuación,$n_k=\text{right}(n,k)+\text{left}(n,d-k)$,
donde el símbolo más aquí indica que la concatenación de cadenas y el
a la derecha y a la izquierda las funciones son familiares de algunos lenguajes de programación,
desde $q_k$ $r_k$ son de la izquierda $d-k$ y
derecho $k$ dígitos de $n$ base $b$ respectivamente.
Una vez que podemos establecer que $n=\frac{b^d-1}{d+1}$,
tendríamos que $b^d\equiv 1\pmod t$.
A partir de aquí se podría argumentar que $b$ debe tener un orden $d$ modulo $t$
el uso de la minimality de $d$: si $1<c=\text{ord}_t(b)<d$,
entonces tendríamos un trivial repunit de la factorización de
$$
\frac{b^c-1}{t}\cdot\frac{b^d-1}{b^c-1}=n
$$
de modo que $n$ es una repetición de un ciclo más corto de longitud $c$,
contradice nuestra suposición.
Pero sería el resultado, desde luego
$t-1=d=\text{ord}_t(b)\leq\phi(t)\leq t-1$,
es decir, que habría intercalado de Euler totient función
$\phi(t)$ a alcanzar su máximo teórico,
que sólo se produce cuando se $t$ es primo, mientras que en el otro lado,
el orden de cualquier elemento $b$ mod $t$ sólo alcanza a $\phi(t)$
cuando el elemento $b$ es una raíz primitiva,
es decir, un generador de $(\mathbb{Z}/t\mathbb{Z})^*$.
Por último (sólo por diversión), tenga en cuenta que un comienzo en la factorización $n$ $d>1$ es
$$
n=\frac{b^d-1}{t}=\frac{1}{t}\prod_{0<c|d}\Phi_c(b)
$$
donde $\Phi_c(x)$ denota la cyclotomic polinomio de grado $c$,
y el producto será un parcial de la factorización de la con $\tau(d)$ términos,
uno de los cuales debe ser divisible por el primer $t$,
donde $\tau(d)$ es el número de divisores positivos de $d$.
