Casos especiales de la Cruda-Heegner teorema con pruebas simples

Question

El Stark-Heegner teorema establece que el anillo de enteros de la cuadrática campo de número de $\mathbb Q(\sqrt{m})$ donde $m$ es un squarefree entero negativo, es uno de los principales ideales de dominio, iff $$m\in\{-1,-2,-3,-7,-11,-19,-43,-67,-163\}$$ Estoy buscando para casos especiales de este teorema (incluyendo referencias donde puedo encontrar), que puede ser probada con los elementales de la teoría de números o no muy complicada la teoría algebraica de números.

Esto es lo que tengo hasta ahora:

• $\mathbb Q(\sqrt{m})$ es un PID para $m\in\{-1,-2,-3,-7,-11\}$ (es fácil demostrar, que esta anillos de la norma Euclidiana y que Euclidiana anillos son PIDs)
• $\mathbb Q(\sqrt{m})$ es un PID para $m\in\{-19,-43,-67,-163\}$ (de demostrar o Bien, el sombrero de la norma es Dedekind–Hasse norma para estos anillos, o que, si de Euler de la primer generación de polinomio $x^2+x+q$ genera números primos para$x=0,\dots q-1$, $\mathbb Q(\sqrt{1-4q})$ es un PID)
• Si $m\not\equiv 1 \bmod 4$$m<-2$, $\mathbb Q(\sqrt{m})$ no es un PID (de Nuevo, hay varias pruebas, una de ellas es este uno)

¿Alguien sabe alguna otra simple resultado en el anterior espíritu, particularmente para demostrar que algunos anillos son no PIDs? Tal vez algo así como una prueba de que hay sólo un número finito de PIDs, tal vez incluso un límite superior para $m$, o el hecho de que $m\equiv 1\bmod{8}$ no funciona, o tal vez alguna otra restricción en $m$?

Gracias!

EDIT: Todos los Heegner números son primos. Quizás, no es un argumento, ¿por qué no funciona para el compuesto de números?

Answer 1

Hay un montón de fácil de los casos. Si $m$ es aún, o si $m \equiv -1 \bmod 4$, $2$ ramifies en $\mathbb{Q}(\sqrt{m})$. Pero $2$ no es de la forma $a^2+|m| b^2$, a excepción de $m=-1$$m=-2$. Así podemos limitarnos a $m \equiv 1 \bmod 4$. Como se señaló anteriormente, también podemos suponer $m \not \equiv 1 \bmod 8$. Así que estamos en la $m \equiv -5 \bmod 8$. Esto significa que el anillo de enteros en $\mathbb{Q}(\sqrt{m})$$a+b(1+\sqrt{m})/2$, con la norma de la función $a^2 + ab + \frac{|m|+1}{4} b^2$. (Por supuesto, $m$ es negativo, pero creo que muchas de estas fórmulas son más legibles con $|m|$ en lugar de $-m$ porque hace que el signo de inmediato visualmente claro.)

En particular, si $b \neq 0$, la norma $N(a+b(1+\sqrt{m})/2) \geq \frac{|m|+1}{4}$.

Primero de todo, esto explica por qué la $m$ debe ser un primo. Si $m$ es un número impar, la plaza libre de compuestos, entonces no es un buen $p$ dividiendo $m$$p \leq |m|/5$. Este primer $p$ ramifies, así que hay un primer ideal $\pi$$N(\pi) = p$. Desde $p \leq m/5 < \frac{|m|+1}{4}$, el ideal de $\pi$ no puede ser director.

Además, supongamos que el $p$ es una extraña prime con $\left( \frac{m}{p} \right) =1$$p < (|m|+1)/4$. A continuación, $p$ se divide en $\pi \bar{\pi}$ y el mismo argumento como el párrafo anterior muestra que $\pi$ no puede ser director.

Resumen Cualquier contraejemplo debe tener $|m|$ un primo, $m \equiv 5 \bmod 8$, y debe tener $\left( \frac{m}{p} \right) = -1$$p < \frac{|m|+1}{4}$.

No puedo encontrar ninguna $m$ más negativo de lo $-163$ que pasa esta prueba, buscando a través de la primera $50,000$ números primos. Nada se compara. Definir $r(m)$ a ser el menos extraño que el primer $p$ que $\left( \frac{m}{p} \right) = 1$. Un PID habrían $r(m)/|m| > 0.25$; el mayor valor que puede encontrar después de$163$$r(-193)/193 = 11/193 \approx 0.057$. En caso de que quieras hacer algunos cálculos usted mismo, aquí es un poco de código de Mathematica:

FirstSplit[m_] :=
   (i = 2; While[KroneckerSymbol[m, Prime[i]] == -1, i++]; Prime[i])

SplitRatio[m_] := FirstSplit[-m]/m