Demostrar que $\log _5 7 < \sqrt 2.$

Question

Demostrar que $\log _5 7 < \sqrt 2.$

Prueba : Aquí $\log _5 7 < \sqrt 2 \implies 5^\sqrt 2 <7.$ Pero no sé cómo demostrarlo. Por favor, ayuda.

Answer 1

Observe que: $$ \begin{align*} \log_5 7 &= \dfrac{3}{3}\log_5 7 \\ &= \dfrac{1}{3}\log_5 7^3 \\ &= \dfrac{1}{3}\log_5 343 \\ &< \dfrac{1}{3}\log_5 625\\ &= \dfrac{1}{3}\log_5 5^4\\ &= \dfrac{1}{3}(4)\\ &= \sqrt{\dfrac{16}{9}}\\ &< \sqrt{\dfrac{18}{9}}\\ &= \sqrt{2}\\ \end{align*} $$ como se desee.

Answer 2

$f(x)=x^\frac1x$ es una función definida en $(0,\infty)$ su registro es $$G(x)=\log f(x)=\frac{\log x}x$$ $$G'(x)=\frac{1-\log x}{x^2}$$ Por lo tanto, $G(x)=\log f(x)$ disminuye estrictamente para $x>e$ pero el logaritmo es monótono en $(0,\infty)$ para que $f(x)$ es estrictamente decreciente para $x>e$

Esto nos da $$5^{\frac15}>7^{\frac17}$$ lo que implica (tomando la 7ª potencia) que $$5^\sqrt2>5^{1.4}>7$$

Answer 3

Quiere demostrar que

• $\log_5{7} = \frac{\lg{7}}{\lg{5}} < \sqrt{2}$

De forma equivalente, podemos demostrar que

• $\lg{7} < \lg{5}\times\sqrt{2}$
• $7 < 5^{\sqrt{2}}$

donde $\lg$ es el logaritmo de base 2. Observa que

• $5\times5^{\frac{2}{5}}= 5^{1.4} <5^{\sqrt{2}}$

Entonces, ¿podemos demostrar que $\frac{7}{5} < 5^{\frac{2}{5}}$ ? Claro, ya que $7<8=32768^{\frac{1}{5}}<78125^{\frac{1}{5}}$ . Por lo tanto,

• $7 < 5^{1.4} <5^{\sqrt{2}}$

Answer 4

Definir $f(x)=5^{x/5}-x$ .

Si $x>5$ es obvio que $f'(x)=5^{(-1+x/5)}\ln (5)-1>0.$

Desde $f(5)=0$ tenemos $f(7)>0$ .

Desde $\frac{7}{5}=\sqrt{\frac{49}{25}}<\sqrt{2}$ hemos terminado.

Answer 5

Demostrar que $\log _5 7 < \sqrt 2$

Lema

Los matemáticos utilizan la palabra "lema" para referirse a un hecho sobre las matemáticas que nos ayuda a demostrar otros hechos sobre las matemáticas.

El siguiente es un lema útil:

Dejemos que $x$ y $y$ sean dos números decimales positivos cualesquiera.

Por ejemplo,

• $x$ podría ser $\pi \approx 3.141592653589793238462643383282 \cdots$
• $x$ podría ser $\frac{4}{3}$
• $x$ podría ser el número $9$
• $x$ podría ser $0.407129911$

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Si
existe un número entero positivo $k$ tal que $\lfloor{x * 10^{k}}\rfloor > \lfloor{y * 10^{k}}\rfloor$
entonces
$x > y$

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Si no está familiarizado con la notación $\lfloor{x}\rfloor$ significa "borrar todo a la derecha del punto decimal".

Por ejemplo,

• $\lfloor{3.1459}\rfloor = 3$
• $\lfloor{45.28}\rfloor = 45$
• $\lfloor{1.5}\rfloor = 1$

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En otras palabras, si se multiplican ambos números decimales por diez unas cuantas veces, y luego se desecha todo lo que está a la derecha del punto decimal, a veces se puede saber qué número es mayor.

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$ \begin{align} log_5(7) & \approx 1.209061 \dots \\ \sqrt{2} & \approx 1.4142136 \dots \\ \end{align} $

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$\begin{align} \lfloor 10*\sqrt{2} \rfloor & = 14 \\ \lfloor 10*\log_5(7)\rfloor & = 12 \\ \end{align} $

$14 = \lfloor 10*\sqrt{2} \rfloor > \lfloor 10*\log_5(7) \rfloor = 12$

Por lo tanto, $\sqrt{2} > log_5{7}$