Esta es una parte de mi respuesta aquí, pero se debe por completo a responder sus preguntas.
Yo uso la notación $$\lim_{y\to x^{+}}f(y)=f(x^+)$$ $$\lim_{y\to x^{-}}f(y)=f(x^-)$$
Hay una forma muy agradable de la construcción, dada una secuencia $\{x_n\}$ de los números reales, una función que es continua en todas partes a excepción de los elementos de $\{x_n\}$ [Que es discontinua en una contables set $A\in\Bbb R$]. Deje $\{c_n\}$ por cualquier positivo summable secuencia [es $\sum\limits_{n\geq 0} c_n$ existe finitely], y deje $$s(x)=\sum_{x_n<x} c_n$$
Lo que hacemos es a través de la suma de los índices que satisfacen dicha desigualdad. Debido a la convergencia absoluta, el orden es irrelevante. La función es monótona creciente, porque los términos son no negativos, y $s$ es discontinua en cada una de las $x_n$ porque $$s(x_n^+)-s(x_n^-)=c_n$$
Sin embargo, es continua en cualquier otro $x$: ver xzyzyz la prueba con el caso particular $c_n=n^{-2}$. De hecho, esta función es más bajo continuo, en el sentido de $\lim\limits_{y\to x^{-}}f(y)=f(x^-)=f(x)$ para cualquier valor de $x$. Si se hubiera utilizado $x_n\leq x$, sería superior continua, pero todavía discontinua en el $x_n$.
Para ver la función ha dicho saltos, tenga en cuenta que para $h>0$, $$\begin{align} s(x_n^+)-s(x_n^-)&=\\ \lim_{h\to 0^+} s(x_k+h)-s(x_k-h)&=\lim_{h\to 0^+}\sum_{x_n<x_k+h} c_n-\sum_{x_n<x_k-h}c_n\\&=\lim_{h\to 0^+}\sum_{x_k-h\leq x_n<x_k+h} c_n\end{align}$$
y podemos tomar $\delta$ tan pequeño que cada vez que $0<h<\delta$, para cualquier $x_m\neq x_k$, $x_m\notin [x_k-\delta,x_k+\delta)$, así que el único plazo que permanecerá será $c_k$, como se desee.
