Supongo que esto es el de los analistas de la versión de Hilbert nullstellensatz. He aquí una prueba de que creo que he aprendido de uno de los análisis estándar de libros, aunque no me acuerdo de que uno:
Deje $f$ ser una función que se desvanece en la fuga locus de $I$. Fix $\epsilon > 0$ y deje $U$ denota el conjunto de todos los puntos de $x$ donde $|f(x)| < \epsilon$. $U$ es abierto, por lo que su complementar $K$ es cerrado y por lo tanto compacto. Tenga en cuenta que $U$ contiene la fuga locus de $f$ que contiene la fuga locus de $I$, por lo que para cada $y$ $K$ hay una función de $g_y$ $I$ tal que $g_y$ es nonvanishing en un vecindario $V_y$$y$. El abierto de los conjuntos de $V_y$ cubierta $K$, por lo que hay un número finito de subcover $V_{y_1}, \ldots, V_{y_n}$. Definir una nueva función $g$$I$$g(x) = g_{y_1}(x)^2 + \ldots + g_{y_n}(x)^2$.
Observe que para cada entero $n$ la función de $1 + ng$ está en ningún lugar de fuga y, por tanto, $1/(1 + ng)$ es una función continua en a $X$. Por lo tanto $f_n := f \frac{ng}{1 + ng}$ es una secuencia de funciones en $I$; afirmo que la $f_n$ está dentro de $2\epsilon$ $f$ $n$ lo suficientemente grande. De hecho, para $x \in U$ tenemos $|f(x) - f_n(x)| < 2 \epsilon$ todos los $n$ desde $|f(x)| < \epsilon$$0 \leq \frac{ng}{1 + ng} \leq 1$. Para $x \in K$ tenemos que $|f(x) - f_n(x)| < 2 \epsilon$ $n$ suficientemente grande (independiente de $x$) desde $\frac{ng}{1 + ng}$ converge uniformemente a$1$$K$. Esto completa la prueba.
