Después de mirar y textos de la Wikipedia, me estoy haciendo un poco de confusión sobre la diferencia entre monádico de segundo orden, lógica y completa de segundo orden, la lógica y la diferencia entre la semántica de Henkin y semántica completa.
Puede alguien ofrecer oraciones de ejemplo/fórmulas que muestran claramente la diferencia?
En monádico de segundo orden, la lógica, las fórmulas sólo se les permite contener unario de segundo orden de las variables y de primer orden de variables. Por ejemplo, la fórmula de $\psi$ $$\forall x \forall y \exists X~X(x, y)$$ no es una fórmula de monádico de segundo orden, la lógica, porque contiene un binario de segundo orden de la variable $X$. (Monádico de segundo orden de la lógica de las fórmulas no podrán contener segundo orden funcional de las variables).
En el estándar de la semántica, la estructura consta de un dominio y de la interpretación de la no-lógica de los símbolos (como en la lógica de primer orden). Un cuantificador más de un $n$-ary de segundo orden variable se interpreta ir encima de todas las $n$-ary relaciones en el dominio. Por lo tanto una fórmula $\exists X \phi(\bar a, \bar A)$ (donde $X$ $n$- ary de segundo orden variable) sería verdad en una estructura ${\cal M} = (M, ...)$ fib hay un conjunto $B \subseteq M^n$ tal que $\phi(\bar a, \bar A, B)$ que es verdad en $\cal M$.
Bajo el estándar de la semántica incluso monádico de segundo orden, la lógica es expresiva suficiente para no admitir un recursiva axiomatisation. Es ampliamente conocido que el estándar de primer orden axiomas de Peano, junto con el axioma de inducción completa $$\forall P (P(0) \land \forall x (P(x) \to P(s(x))) \to \forall x P(x))$$ caracterizar la estructura de los números naturales hasta el isomorfismo. Esto significa que el conjunto de fórmulas que se deriva lógicamente de estos (número finito de) los axiomas no es aritmética.
En contraste, en Henking semántica, una estructura especifica explícitamente el universo sobre el cual cuantificadores $n$-ary segundo orden de las variables de intervalo. Estos son los llamados Henkin preestructuras. Es fácil encontrar una fórmula que es válido en el estándar de la semántica, pero cuya negación admite un Henkin prestructure. Por ejemplo, la fórmula anterior $\psi$ es válido en el estándar de la semántica. Pero es falso en un Henkin prestructure donde la gama de los binarios de segundo orden de las variables es vacío.
Como Henkin preestructuras son demasiado amplias, a veces uno requiere de los universos de segundo orden de las variables para satisfacer algunas de comprensión de los axiomas. Que cierto es definible subconjuntos debe ser en el universo. De acuerdo a la SEP un Henkin prestructure donde todos la comprensión de los axiomas de retención de llamada Henkin estructura. Carl Mummert notas que Henkin preestructuras que no cumplen con la comprensión de todos los axiomas son también a menudo en matemáticas (ver su comentario para más detalles).
La semántica de Henkin con cualquier recursivamente enumerable conjunto de la comprensión de los axiomas puede ser de forma recursiva axiomatised. Esto significa que no hay una fórmula $\chi$ que sigue lógicamente a partir de axiomas de Peano, junto con la inducción completa bajo la norma semántica, pero no seguir en la semántica de Henkin. Esto puede ser usado para construir un valind (bajo la norma semántica) de la fórmula, cuya negación admite un Henkin estructura.
Más acerca de la semántica de Henkin se puede encontrar en la Enciclopedia de Filosofía de Stanford
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