Geométrica de la multiplicidad de un autovalor

Question

Geométrica de la multiplicidad de un valor propio de una matriz es la dimensión de la correspondiente espacio propio. La multiplicidad algebraica es su multiplicidad como una raíz del polinomio característico.

Se sabe que la multiplicidad geométrica de un autovalor no puede ser mayor que la multiplicidad algebraica. Este hecho puede demostrarse fácilmente con la forma normal de Jordan de una matriz.

Me preguntaba si hay la más elemental forma de demostrar este hecho, posiblemente más, pero sin usar la forma normal de Jordan? (Este es un ejercicio de Kreyszig del libro en el análisis funcional, y dado el estilo del autor, tengo la sospecha de que él no tenía la intención de que la solución para el uso de Jordan en la forma, porque de lo contrario supongo que él se hubiera dado una pista acerca de que. Pero yo podría estar equivocado.)

Answer 1

Usted no necesita el Jordan en la forma: supongamos que la multiplicidad geométrica de $\lambda$$k$, y deje $\gamma=\{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_k\}$ ser una base para el correspondiente espacio propio. Ampliar la base $\gamma$ a una $\beta$$F^n$, y deje $Q$ ser el cambio de base de la matriz. A continuación, la característica polinomios de $A$ $Q^{-1}AQ$ son los mismos. La parte superior izquierda $k\times k$ bloque de $Q^{-1}AQ$ es simplemente $\lambda I_k$, y, el $(n-k)\times k$ bloque bajo es todo ceros. Así que el polinomio característico de a $Q^{-1}AQ$ es un múltiplo de a $(\lambda - t)^k$ por lo tanto la multiplicidad algebraica de $\lambda$ al menos $k$.