Hay exactamente 116 grupos diferentes P donde $7\mathbf{Z}^{3} \subset P \subset \mathbf{Z}^{3}$
No sé cómo probar esto. ¿Es demostrable en absoluto? ¿Cómo?
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SecretDeveloper
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El número de $k$ -de un espacio vectorial de dimensión $n$ sobre un campo finito de $q = p^{m}$ elementos es el producto \begin{align} \binom{n}{k}_{q} = \frac{(q^{n} - 1) \cdots (q^{n} - q^{k-1})}{(q^{k} - 1) \cdots (q^{k} - q^{k-1})}. \end{align} Para demostrarlo, considere lo siguiente. A $k$ -es especificado por $k$ vectores linealmente independientes, digamos, $\{ v_1, \dots, v_k \}$ . Hay $q^{n}-1$ formas de elegir $v_1$ , $q^{n} - q$ formas de elegir $v_2$ (para no estar en un subespacio abarcado por $v_1$ ), etc. Siguiendo así, hay $q^{n} - q^{j}$ formas de elegir $v_{j+1}$ (para no estar en el subespacio abarcado por los vectores anteriores). El número de $k$ vectores linealmente independientes de un $n$ -es, por tanto, el producto \begin{align} (q^{n} - 1) \cdots (q^{n} - q^{k-1}). \end{align} Configuración $n = k$ da el número de bases posibles de cada $k$ -subespacio dimensional. Por lo tanto, normalizamos el primero por el segundo y esto da la función racional que cuenta el número de $k$ -subespacios dimensionales.
El número total de subespacios de un $n$ -espacio vectorial sobre un campo finito de $q$ elementos es, por tanto, la suma \begin{align} \sum _{k = 0}^{n} \binom{n}{k} _{q}. \end{align} Para su ejemplo, como sugieren mis astutos colegas Mariano y Arturo, $n = 3$ y $q = 7$ y el número total de dichos subespacios es la suma \begin{align} \binom{3}{0}_7 + \binom{3}{1}_7 + \binom{3}{2}_7 + \binom{3}{3}_7 = 1 + 57 + 57 + 1 = 116. \end{align} Por lo tanto, hay $116$ grupos $P$ tal que $7 \mathbb{Z}^{3} \subset P \subset \mathbb{Z}^{3}$ .
Lorin Hochstein
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Por el Teorema del Isomorfismo de la Cuarta (o del Entramado, o de la numeración que se utilice), los subgrupos de $G$ que contienen un subgrupo normal $N$ están en correspondencia uno a uno con los subgrupos de $G/N$ .
Aquí, $G=\mathbf{Z}^3$ es abeliana, por lo que $7\mathbb{Z}^3$ es un subgrupo normal. Por lo tanto, pidiendo subgrupos $P$ que contienen $N=7\mathbb{Z}^3$ equivale a pedir subgrupos de $(\mathbb{Z}^3)/(7\mathbb{Z}^3) \cong (\mathbb{Z}/7\mathbb{Z})^3$ .
Este último es un espacio vectorial tridimensional sobre $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$ el campo con $7$ elementos; los subgrupos son los subespacios. Cuenta los subespacios.
