En la definición de la cruz (vector) del producto.

Question

Esto ha me ha estado molestando durante años, así que finalmente me decidí a "derivar" (a falta de un mejor término) la definición de la cruz del producto en $\mathbb R{^3}$. Aquí fue mi método para encontrar un vector: $\mathbf w = \mathbf u \times \mathbf v$ tal que $\mathbf w \cdot \mathbf u = \mathbf w \cdot \mathbf v = 0$ donde $\mathbf u = [$$\begin{matrix} a & b & c \\ \end{de la matriz}$$]$ y $\mathbf v = [$$\begin{matrix} d & e & f \\ \end{de la matriz}$$]$. This of course shows orthogonality between $\mathbf w$ and $\mathbf u$, as well as $\mathbf v$. I set up the 2x3 matrix to solve for $\mathbf w = [$$\begin{matrix} w_1 & w_2 & w_3 \\ \end{de la matriz}$$]$ como sigue: $\begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \end{bmatrix}$$\cdot \begin{bmatrix} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \end{bmatrix}$$= \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ Por supuesto, esto es de 3 incógnitas y 2 ecuaciones, así que sabía que no tendría que ser un parámetro arbitrario. Yo estaba bien con este, por el momento, y después de algún trabajo sucio, terminó con el siguiente:

$$\begin{bmatrix} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \end{bmatrix} = t \begin{bmatrix} \frac{\begin{vmatrix}b & c \\ e & f\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a & b \\ d & e\end{vmatrix}} \\ -\frac{\begin{vmatrix}a & c \\ d & f\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a & b \\ d & e\end{vmatrix}} \\ 1 \end{bmatrix}$$

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Esto se parecía mucho a la "tradicional" de la definición de la cruz del producto, así que elegí $t = \begin{vmatrix}a & b \\ d & e\end{vmatrix}$, y finalmente terminó con $\mathbf w =$$\begin{pmatrix} \begin{vmatrix}b & c \\ e & f\end{vmatrix}\\-{\begin{vmatrix}a & c \\ d & f\end{vmatrix}} \\ \begin{vmatrix}a & b \\ d & e\end{vmatrix} \end{pmatrix}$ cual es la definición de la cruz de productos que he visto en mucho a todos los de mi cálculo y física de textos (también se muestra en forma determinante con la unidad de vectores). Pero, żdónde valor de$t$? Qué hace que ese valor particular de $t$ trabajo, además de mi corazonada para hacer que se vea como una definición universalmente aceptada? Es la lógica detrás de la $t$ ser negativo para $\mathbf w = \mathbf v \times \mathbf u$ sólo para satisfacer a la derecha de la regla?

Lo siento si algo está en mal estado, esta es mi primera vez usando MathJax.

Por cierto, he comprobado preguntas similares que pide la justificación de la cruz de productos existentes que he aprendido del estudio del electromagnetismo a mí mismo. Pero yo quería ver el racional detrás de la longitud del vector, por lo tanto mi valor de $t$. Gracias por cualquier ayuda que se le puede ofrecer!

Answer 1

No estoy seguro de si esto es lo que están buscando exactamente, pero que la elección particular de la $t$ es agradable geométricamente porque, si $\mathbf{w}=\mathbf{u}\times \mathbf{v}$ $t$ definido como tal, entonces la magnitud de $\mathbf{w}$ es la misma que el área del paralelogramo definido por $\mathbf{u}$ $\mathbf{v}$ (esto se generaliza a $n$ dimensiones). También es la única opción de $t$, lo que hace que $\mathbf{e_1}\times\mathbf{e_2}=\mathbf{e_3}$ (el estándar de los vectores de la base), que es una agradable propiedad supongo.

Answer 2

Depende de tu definición de producto cruzado.

La historia de la cruz de los productos ha sido discutido en profundidad en Michael Crowe (2002), Una Historia de Análisis Vectorial (véase también la anterior hilo). Al parecer, existen dos vías de desarrollo, uno liderado por Hamilton y el otro por Grassmann y el matemático francés Adhémar Barré, Conde de Saint-Venant.

Según Crowe (2002), Hamilton señaló en 1846 --- en lenguaje moderno --- dado dos puramente imaginario cuaterniones $Q=x\mathbf i+y\mathbf j+z\mathbf k$$Q'=x'\mathbf i+y'\mathbf j+z'\mathbf k$, la parte real (llamado "escalar la parte" por Hamilton) de $QQ'$ es igual a $-(xx'+yy'+zz')$ (que es el negativo de la moderna producto escalar) y la parte imaginaria (llamado "vector parte") de $QQ'$ es igual a $\mathbf i(yz'-zy')+\mathbf j(zx'-xz')+\mathbf k(xy'-yx')$, que es la moderna cruzada de productos. Crowe, comenta que "Esto va a ser muy importante históricamente; de hecho, fue precisamente a lo largo de este camino en el que los modernos análisis vectorial se originó."

En el otro frente, Grassmann ya había ideado en el año 1840, algo que es numéricamente equivalente a la moderna de la cruz del producto, y Barré de Saint-Venant también "presenta una serie de las ideas fundamentales del análisis vectorial, incluyendo una versión de la cruz del producto" sin Embargo, tanto la vista de los resultados de vector de productos sólo como se indica áreas, pero no de los vectores. Esto es comprensible, porque sus estudios de productos cruzados estaban motivados por las aplicaciones físicas. Por desgracia, según Crowe,

Grassmann y de Saint-Venant se corresponden por un tiempo, pero de Saint-Venant las ideas no parecen haber atraído una considerable atención. Muestran, sin embargo, que la búsqueda de una vectorial sistema fue " en el aire".

Las primeras definiciones explícitas de la moderna cruzada de productos fueron dadas por Tait's de Una escuela Primaria en el Tratado sobre Cuaterniones (1867) y Gibb's Análisis Vectorial (1881). En Tait del Tratado, el producto cruzado es motivado exactamente en Hamilton manera (es decir, considerando que la parte imaginaria del producto de dos puramente imaginario cuaterniones), mientras que en Gibb del Análisis de Vectores, el producto cruzado $C=A\times B$ es un vector cuya longitud es el área del paralelogramo con bordes $A$ $B$ y cuya dirección se determina por la regla de la mano derecha, por lo que un escalar triple producto $A\cdot(B\times C)$ o $(A\times B)\cdot C$ da la firma del volumen de la parallelopiped concurrente con bordes $A,B,C$ e este volumen es igual al determinante de la matriz ampliada $(A,B,C)$.