La expectativa de un mínimo de $n$ i.i.d. variables aleatorias uniformes.

Question

$X_1, X_2, \ldots , X_n$ son $n$ i.i.d. variables aleatorias uniformes. Que $Y = \min (X_1, X_2, \ldots , X_n)$ . Entonces, ¿cuál es la expectativa de $Y$ (es decir, $E(Y)$ )?

He realizado algunas simulaciones por Matlab, y los resultados muestran que $E(Y)$ puede ser igual a $ \frac {1}{n+1}$ . ¿Puede alguien dar una prueba rigurosa o algunas pistas? Gracias.

Answer 1

Para calcular el valor esperado, vamos a necesitar la función de densidad para $Y$ . Para conseguir eso, vamos a necesitar la función de distribución para $Y$ . Empecemos por ahí.

Por definición, $F(y) = P(Y \leq y) = 1 - P(Y > y) = 1 - P( \text {min}(X_1, \ldots , X_n) > y)$ . Por supuesto, $ \text {min}(X_1, \ldots X_n) > y$ exactamente cuando $X_i > y$ para todos $i$ . Dado que estas variables son i.i.d., tenemos $F(y) = 1 - P(X_1 > y)P(X_2>y) \ldots P(X_n>y) = 1 - P(X_1 > y)^n$ . Asumiendo que el $X_i$ están uniformemente distribuidos en $(a, b)$ esto produce $$F(y) = \left\ { \begin {array}{ll} 1 - \left ( \frac {b-y}{b-a} \right )^n & : y \in (a, b) \\ 0 & : y < a \\ 1 & : y > b \end {array} \right. $$ Tomamos el derivado para obtener la función de densidad. $$f(y) = \left\ { \begin {array}{ll} \frac {n}{b-a} \left ( \frac {b-y}{b-a} \right )^{n-1} & : y \in (a, b) \\ 0 & : \text {otherwise} \end {array} \right. $$ Ahora $E(Y) = \int_ {- \infty }^ \infty y f(y) dy$ . La integral es sencilla, le dejaré los detalles a usted. Yo calculo $E(Y) = \frac {b+na}{n+1}$ .

Answer 2

Sí. Asumiendo que un $U(0,1)$ note que

$$ \Pr\Bigl ( \min_i X_i \leq x \Bigr ) = 1- \Pr\Bigl ( \min_i X_i \geq x \Bigr ) = 1- (1-x)^n. $$

Así que la función de densidad es

$$f(x)=n(1-x)^{n-1}.$$

Luego

$$ \int_0 ^1 x f(x) dx = n \int_0 ^1 x(1-x)^{n-1} dx = n \int_0 ^1 (1-t) t^{n-1} dt = \frac {1}{n+1}. $$