La distribución de las raíces de polinomios complejos

Question

Yo generados al azar cuadrática y cúbica de polinomios con coeficientes en $\mathbb{C}$ distribuidos de manera uniforme en el disco unidad $|z| \le 1$. La distribución de las raíces de 10000 de estos polinomios se muestra a continuación (a la izquierda: cuadrática; derecha: cúbico).

¿Qué explica estas distribuciones? En particular: (1) ¿por Qué la relativa escasez de raíces cerca del origen. (2) ¿por Qué es la densidad concentrado en $\frac{1}{2} \le |z| \le 1$? (3) ¿por Qué el cúbicos de distribución más agudo que el cuadrática?

Answer 1

Las dos primeras observaciones pueden ser explicadas por el hecho de que, si $r$ es la raíz de $a_nz^n+\cdots +a_0$ entonces $r^{-1}$ es la raíz de $a_0z^n+\cdots +a_n$. Ya que el conjunto de densidad de probabilidad de los coeficientes es simétrico bajo $a_k\mapsto a_{n-k}$ de transformación de la densidad de las raíces debe ser simétrico bajo $r\mapsto r^{-1}$. Debería ser bastante sencillo encontrar comportamiento asintótico de la densidad como $z\to0$ o $z\to\infty$. En el primer caso, $r\a a_0/a_1$ y el segundo caso es simétrica con inversión.

La distribución de alrededor de $|z|=1$ es menos evidente, así que tengo que pensar más para explicar su tercera observación.