Evaluar o simplificar $\int\frac{1}{\ln x}\,dx$

Question

Hice un poco de trabajo, pero yo no estoy tan seguro de las piezas hacia el final. Comenzando con $$\int\frac{1}{\ln x}\,dx$$ $$u=\ln x,1=\frac{dx}{du}\frac{1}{x} dx=x\,du dx=e^{\ln x}du dx=e^u\,du$$ $$\int\frac{e^u}{u}\,du=\int\frac{1}{u}e^u\,du=\int\frac1u\sum_{n=1}^\infty\frac{u^n}{n!}\,du=\int\sum_{n=1}^\infty\frac{u^{n-1}}{n!}\,du$$ $$\sum_{n=1}^\infty\frac{u^n}{n\cdot n!}=\sum_{n=1}^\infty\frac{\ln(x)^n}{n\cdot n!}$$ which WolframAlpha tells me converges to $-\ln\left(-\ln x\right)-\Gamma\left(0,-\ln x\right)-\gamma$. No estoy seguro de lo que pasó en este último paso.

Answer 1

Bien, usted cometió un error menor al sustituir la serie de MacLaurin para $\exp(x)$; usted debe tener $$\int\frac{e^{u}}{u}\,du=\int\frac{1}{u}e^u\,du=\int\frac{1}{u}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{u^n}{n!}\,du=\ln(u)+\int\sum_{n=1}^{\infty}\frac{u^{n-1}}{n!}\,du$$ y luego evaluar la integral debemos obtener $$\int\sum_{n=1}^{\infty}\frac{u^{n-1}}{n!}\,du=\sum^{\infty}_{n=1}\frac{u^{n}}{n!n}$$ Por lo tanto usted debe conseguir $$\int\frac{e^{u}}{u}\,du=\ln(u)+\sum^{\infty}_{n=1}\frac{u^{n}}{n!n}=\ln\bigl(\ln(x)\bigr)+\sum^{\infty}_{n=1}\frac{\ln(x)^{n}}{n!n}$$ Esto es hasta cierto constante de integración, por supuesto. Pero mira, que es precisamente el $li(x)$ función, que la integral se describe! Ver, por ejemplo, la Ecuación (14) de Mathworld Li función del artículo.

Adición: Si usted mira Wolfram Alpha' respuesta, de nuevo, una forma alternativa de la suma es dado por $$-\gamma +1/2 \left(\ln\left(\frac{1}{\ln(x)}\right)-\ln(\ln(x))\right)+li(x)$$ Observar la parenthetic plazo se cancela con el plazo adicional fuera de la suma.