Cómo definir factoriales fraccionarios, como el 3,6!?

Question

Yo no sabía que usted podría encontrar una respuesta para eso. Sin embargo, sólo puedo usar Excel tan lejos para hacerlo. Cómo calcular 3.6! en la mano?

Answer 1

Una forma de hacerlo es observar que: $$(n+t)!\approx n!n^t$$ al $n$ es grande. Por ejemplo, tenemos $(n+3)!=n!(n+1)(n+2)(n+3)\approx n!n^3$.

Observe también que: $$t!=\frac{(t+n)!}{(t+1)(t+2)\dotsb(t+n)}$$

Poner esto juntos, tenemos: $$t!=\lim_{n\to\infty}\frac{n!n^t}{(t+1)(t+2)\dotsb(t+n)}$$ que es válida incluso cuando $t$ no es un número entero!

En caso de que no lo he visto antes: $\lim_{n\to\infty}$ significa que, aproximadamente, que dejamos $n$ convertirse en más grande y más grande, y vemos lo que el valor de la expresión se acerca más y más cerca. Por ejemplo, $\lim_{n\to\infty}\frac1n=0$, porque como $n$ hace más y más grande (es decir, como $n$ "tiende a infinito"), $\frac1n$ se convierte más y más a $0$.

EDIT: Lo de Excel , sin embargo, es simplemente para truncar. Así, en lugar de ser molestado en averiguar qué 3.6! es (aproximadamente 13.38129), solamente te da 3! en lugar de (6).

EDIT EDIT: me acabo de dar cuenta que el uso de este, podemos probar la reflexión fórmula $(-z)!z!=\pi z\csc(\pi z)$. (Necesitamos de Euler infinita de productos para el seno, sin embargo.)

Answer 2

La función factorial $n! = \prod\limits_{i=1}^n i$ está definido sólo para enteros positivos $n$. Pero una medida estándar en la teoría de la función es extender este tipo de funciones a los reales, y, a continuación, el plano complejo. Para hacer esto, usted tiene que decidir cuál es la lógica de "generalización" de la función factorial sería. Un lugar obvio para comenzar es la observación de que el factorial obedece a la relación de recurrencia $n! = n(n-1)!$, lo cual tiene una evidente generalización en los reales, $f(x) = x\,f(x-1)$. (Voy a llamar a esta función $f$ ahora porque no se trata de la función factorial.) También tenemos un punto fijo; $1! = 1$, a fin de establecer $f(1) = 1$. Y es conveniente para desplazar a la izquierda por uno: $f(x+1) = x\,f(x)$ ($f(x) = (x-1)!$ al $x$ es un entero positivo.

Todavía hay una gran cantidad de funciones que se ajustan a estas restricciones. Pero si se añade uno más, para la función de $f$ a ser de forma logarítmica convexo sobre el positivo de reales, es un teorema de Bohr y Mollerup (no que Bohr) que esta única y define la función gamma,

$$ \Gamma(t) = \int\limits_0^\infty x^{t-1} e^{-x} \;\text{d}x $$

Por lo $\Gamma(t+1)$ es lo que los matemáticos suelen pensar que cuando te preguntan "¿qué es el factorial de un número real que no es un número entero". Sin embargo, lo que Excel hace si se le pide que calcule el factorial de un no-entero real es truncar.

Answer 3

Usted puede usar la función gamma con la propiedad de que $\Gamma(n+1)=n!$, en particular, mira aquí http://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_function. $\Gamma(4.6)=3.6!=13.383....$