El Funcional De La Desigualdad $f(x) \ge x+1$, $f(x)f(y)\le f(x+y)$

Question

Deje $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ser una función continua que satisface las siguientes condiciones.

$$f(x)f(y)\le f(x+y)$$ $$f(x)\ge x+1$$

¿Qué es $f(x)$?

No es difícil encontrar a $f(0)=1$.

Si $f(x)$ es diferenciable, podemos seguir estos resultados, de forma que $f'(0)=1$, e $f(x)=f'(x)$.

Sin embargo, yo no era capaz de ir más allá de este. Yo creo que el $f(x)=e^x$, pero no puede demostrarlo.

Cualquier ayuda se agradece.

Answer 1

Vamos a tratar de obtener límites en $f(1)$, para el bien de la generalización a $x\in\mathbb{R}$. Podemos conseguir un buen límite inferior de la siguiente algoritmo: \begin{align} f(\tfrac12+\tfrac12)&\geq f(\tfrac12)^2\geq (\tfrac12+1)^2=\tfrac94\\ f(\tfrac14+\tfrac14+\tfrac14+\tfrac14)&\geq f(\tfrac14)^4\geq (\tfrac14+1)^4=\tfrac{625}{64} \end{align} Tenga en cuenta que hice $f(\frac14+\frac14+\frac14+\frac14)\geq f(\frac14+\frac14)^2\geq f(\frac14)^4$. Podemos continuar este proceso de conseguir para cualquier $k\geq1$ la desigualdad $$f(1)\geq (\frac{1}{2^k}+1)^{2^k}$$ and it is widely known that this limit goes to, as you conjectured, $e$. We can generalize this by $$f(x)=f(\tfrac{x}{2^k}+\tfrac{x}{2^k}+\cdots+\tfrac x{2^k})\geq f(\tfrac x{2^k})^{2^k}\geq (\tfrac x{2^k}+1)^{2^k}$$ and the last expression will tend to $e^x$ as $k$ approaches infinity. Thus, we proved (notice that we use $\lim f(a_n)=f(\lim a_n)$ because $f$ is continuous) that $f(x)\geq e^x$. Ahora estamos casi listos. Ya tenemos $1=f(x)f(-x)$, sabemos que $f(x)=\frac{1}{f(-x)}\leq \frac{1}{e^{-x}}=e^x$, y por lo tanto, $f(x)=e^x$.

Espero que esto ayudó!