¿Langlands topológicas?

Question

En un taller acerca de la geometría de $\mathbb{F}_1$ asistí recientemente, surgió una pregunta relativa a un misterioso pero "no-tan-secreto-ya" seminario sobre... una hipotética Topológico de Langlands Correspondencia!

Yo nunca había oído hablar de este programa; he encontrado esta página a través de Google:

http://www.math.jhu.edu/~asalch/toplang/

Sólo sé un poco acerca de el Número de la teoría de Programa de Langlands, y todavía tengo un momento difícil tratando de entender lo que está sucediendo en el Geométrica, por lo que no puede ni siquiera empezar a dibujar una imagen global de la información dispersa en ese sitio.

Así, las preguntas son: ¿Qué sabe usted (o lo que se infere de la web) acerca de la Topológico de Langlands Correspondencia? Que es la imagen global? ¿Cuáles son sus analogías con el (original) Programa de Langlands? Es factible, o simplemente un "pequeño juego" por ahora? Lo que ha demostrado hasta ahora? ¿Qué implicaciones tendría?

(Nota: es un poco difícil de etiquetar esta uno, sentirse libre para volver a etiquetar si usted tiene una mejor comprensión del tema que tengo!)

Answer 1

Yo iba con cautela aventura en la que no hay realmente algo que podríamos llamar un topológico programa de Langlands a los forasteros en este punto. Mi objeción es la última palabra - no sabemos realmente lo que estamos haciendo. Por ejemplo, no creo que incluso tenemos una conjetura en este punto, relativo a las representaciones de algo a algo, o tener la idea correcta de L-funciones que se supone que deben jugar un papel.

El "topológico de Langlands programa" bandera es más de una idea en la que los fragmentos dispersos de número de la teoría de contenido que podemos ver en la estable homotopy teoría debe ser parte de un marco general. No es la aparición de grupos cuyas órdenes son denominadores de los números de Bernoulli en estable homotopy grupos de esferas, Andrew Salch cálculos de mayor cromática niveles que parecen estar relacionados con valores especiales de L-funciones, la relación entre K(1)-local de la orientación de la teoría y de las medidas de p-adically de la interpolación de los números de Bernoulli (vea la Marca de Behrens' sitio web para un poco de material sobre esto) la sorprendentemente canónica de la aparición de las realizaciones de Lubin-Tate grupo formal de las leyes debido al trabajo de Goerss-Hopkins-Miller en homotopy teoría, et cetera, et cetera.

Tal vez en este punto me gustaría decir que tenemos un "topológico de Langlands programa" programa, cuyo objetivo es averiguar por qué en la tierra todo este aritmética de los datos está entrando en homotopy la teoría y lo que forma la estructura general se lleva de una manera similar a la Langlands programa en sí.

Answer 2

Me encantaría saber la respuesta a tu pregunta! Por desgracia, no tengo una idea clara de mí mismo acerca de lo Topológico de Langlands debe ser. Lo mejor que puedo decir es que un número de elementos que se muestran en la historia de Langlands (especialmente los de langlands, la de Harris y Taylor) se muestran en homotopy teoría: cosas como Lubin-Tate grupos formales, p-divisible entre grupos, automorphic formas, los operadores de Hecke.

Un pensamiento. El caso de base de la Langlands correspondencia se supone para ser la clase de teoría de campo. En topología, el análogo de campo de la clase de teoría (sobre los racionales, al menos), aparece (para mí) la historia sobre el "Adams conjetura", lo cual ha sido probado alrededor de 1969 por Quillen y Sullivan. Véase mi respuesta a Qué tipo de operaciones geométricas de la "escala" cohomology? para una (muy breve) descripción de este.

Answer 3

Mi respuesta a esta pregunta (cuando se acercó a la n-categoría cafe) es aquí - más abajo en esa página es más una discusión informativa por Jack Morava y Jim Borger sobre el campo de clase de teoría y homotopy teoría (y algunos relacionados con el trabajo de Charles). Pero, en cualquier caso, parece que no existe un "topológico programa de Langlands" en este punto, sino más bien por ahora como Charles dice que es más que especial Shimura variedades de jugar un papel central en ambos..