Sobre los números amistosos

Question

Mi pregunta puede parecer errónea, pero la explicaré ahora:

Definiremos $\phi(a)$ como la suma de los divisores de $a$ excepto $a$ .

Un par $(a,b)$ es una pareja amistosa $\iff ((\phi(a) = b) \land (\phi(b) = a)) \land (a \neq b)$

Obviamente, si $(a,b)$ es una pareja amistosa $(b,a)$ también es una pareja amistosa. Por lo tanto, diremos $a$ es un número amistoso $\iff$ Existe un $b$ , de tal manera que $(a,b)$ es una pareja amistosa y $b < a$ . También diremos $a$ es un número perfecto $\iff$ $\phi(a) = a$ .

Así que mi pregunta es si elegimos un número arbitrario, ¿es más probable que sea un número amistoso o un número perfecto? Esta pregunta puede ser errónea porque pueden ser finitos pero mi pregunta es simple: "¿Hay más números amicables que números perfectos?"

Lo compruebo con el ordenador y creo que es más probable que sea un número amistoso.

Formalicemos esto de la siguiente manera: Sea $P(n)$ sea el número de números perfectos $\leq n$ y que $A(n)$ sea el número de números amistosos menores que $n$ . Hace $\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{P(n)}{A(n)}$ existe, y si es así ¿cuál es su valor?

Answer 1

Los límites en los que me baso los he sacado principalmente de Wikipedia y WolframAlpha, así que siéntase libre de corregir si algo está mal.

Según la Wikipedia, $P(n)<c\sqrt n$ donde c es una constante. Supongo que se trata de un límite asintótico aproximado, corregidme si me equivoco. También dice que $A(n)<ne^{-{\ln(n)}^{1/3}}$ Así que $\frac {P(n)}{A(n)}\sim\frac {c\sqrt n}{ne^{-{\ln(n)}^{1/3}}}$ . El límite es más fácil de evaluar después de tomar el logaritmo, por lo que tenemos $\ln ({\frac {P(n)}{A(n)}})\sim\ln(n)^{1/3}-\frac{\ln(n)}2+\ln(c)$ por lo que el límite es $-\infty$ Desde que el $-\ln(n)\over 2$ domina la función a medida que n se acerca a $\infty$ . Para volver a convertir esto en su forma original, tomamos $e^{-\infty}=0$ . Por lo tanto, $\lim_{n\to \infty} \frac{P(n)}{A(n)}=0.$

Answer 2

EDIT: He interpretado mal la descripción de los "números amistosos" por lo que mi respuesta suave a continuación es para la pregunta de la relación entre los números donde $\phi(a) = \phi(b)$ a los números perfectos.

Esta es una respuesta blanda, pero expresaré aquí mis pensamientos (ligeramente demasiado largos para un comentario):

1) Todo número primo (excepto el 2) se ajusta a la definición anterior, ya que $\phi (p) = 1$ para $p$ = primo #. Hay más números que se ajustan a este patrón ( $25$ por ejemplo, $\phi(25) = 6 = \phi(6)$ ).

2) Sabemos que los números perfectos pares tienen una relación 1-1 con los primos de Mersenne (véase Wikipedia página para los números perfectos).

3) No sabemos si existen números perfectos Impares, pero parece que si existen, son muchos menos que los números perfectos.

4) Así que podemos limitar la proporción de números perfectos a los números en los que $\phi(a)=\phi(b)$ por la relación entre los primos de Mersenne y los primos en general. Esta proporción es otra incógnita, pero la evidencia empírica sugiere que es muy pequeña.

De nuevo, una respuesta suave, pero me gustó pensar en ello.