Son cerca de mapas homotópica?

Question

Considere la posibilidad de un suave colector $M = M^m$ y un suave submanifold $N = N^n \subset M$. Supongamos que dos mapas de $f, g: M \to N$ son cerca uno del otro, en el sentido de que no existe $\epsilon > 0$ tal que $d(f(x), g(x)) < \epsilon$ todos los $x \in N$. Es cierto que si $\epsilon$ es lo suficientemente pequeño, a continuación, $f, g$ son homotópica a cada uno de los otros?

Answer 1

Esto es cierto en el caso de que $N$ es compacto (por ejemplo, uno puede usar el mapa exponencial de una arbitraria métrica de Riemann, junto con el hecho de que su radio de inyectividad es positivo para la construcción de un homotopy), pero no en general.

Para un contra-ejemplo tome $M = \mathbb R^2$$N =\mathbb R \times \{0\} \cup \mathrm{graph}(\frac 1x)$. Entonces para cualquier $\epsilon >0$ podemos encontrar puntos de $x,y$ $N$ que se encuentran a una distancia en la mayoría de las $\epsilon$ a cada uno de los otros, pero no en el mismo componente conectado. Por lo tanto la constante de mapas $f = x$, $g=y$ no homotópica.

Para un poco menos trivial ejemplo, considere el $M = N = \mathbb R^2 \setminus \{0\}$ y $$f(x) = \delta \frac{x}{\vert x\vert}, \qquad g(x) = \delta$$

por lo suficientemente pequeño $\delta$.