No Abelian grupo $G$ que $x\mapsto x^3$ es un homomorphism

Question

Arpit Kansal demostró aquí que un grupo de $G$ que $x\mapsto x^3$ es un isomorfismo es Abelian. Él demostró por primera vez que tenemos $a^3b^3=b^3a^3$ todos los $a,b\in G$ (sólo mediante ese $x\mapsto x^3$ es homomorphism) y, a continuación, utiliza inyectividad de $x\mapsto x^3$ conseguir $ab=ba$ todos los $a,b\in G$.

Hay un no-grupo Abelian $G$ que $x\mapsto x^3$ es un homomorphism?

Answer 1

Más pequeño ejemplo: existe un no-grupo abelian de orden $27$, y de exponente 3 ($x^3=1$ todos los $x \in G$), que puede ser construido como todos los $3 \times 3$ superior de la diagonal de las matrices con 1 en la diagonal y las entradas en el campo de los 3 elementos. Tenga en cuenta que la prueba de Arpit sólo depende de la inyectividad del mapa de poder.

Answer 2

Según lo sugerido por @Nicky Hekster Considerar el grupo de Heisenberg de todas las matrices de la forma $$\left(\begin{array}{ccc} 1 & x & y\\ 0 & 1 & z\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right),$$ donde $x,y,z\in\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$.Este grupo ha exponente $3$ es decir, por cada $g \in G$ tenemos $g^3=e$. Sólo para asegurarse de que $G$ no es abelian considere las siguientes matrices y muestran que estas matrices no conmutan. $$\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right),$$ $$\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$$