Si $a+b+c+d=16$, $(a+\frac{1}{c})^2+(c+\frac{1}{a})^2 + (b+\frac{1}{d})^2 + (d+\frac{1}{b})^2 \geq \frac{289}{4}$

Question

Si $a,b,c,d$ son enteros positivos y $a+b+c+d=16$, demostrar que $$\left(a+\frac{1}{c}\right)^2+\left(c+\frac{1}{a}\right)^2+\left(b+\frac{1}{d}\right)^2+\left(d+\frac{1}{b}\right)^2 \geq \frac{289}{4}.$$

Sé que tengo que usar algunas de desigualdad, no ESTOY seguro que GM va a trabajar aquí o desigualdad de Minkowski. Pero sólo necesito consejos, no es la solución completa. Quiero trabajar en mí mismo.

Por favor proporcione sólo Sugerencias.

Answer 1

Aplicar primero la Raíz Cuadrada de la Media aritmética-Media Aritmético-Geométrica Media Armónica la media de la Desigualdad (de http://tinyurl.com/84o57u4)

$$\sqrt{\frac{\left(a+\frac{1}{c}\right)^2+\left(c+\frac{1}{a}\right)^2+\left(b+\frac{1}{d}\right)^2+\left(d+\frac{1}{b}\right)^2}{4}} \geq \frac{\left(a+\frac{1}{c}\right)+\left(c+\frac{1}{a}\right)+\left(b+\frac{1}{d}\right)+\left(d+\frac{1}{b}\right)}{4}$$

Plaza de los dos lados

$$\frac{\left(a+\frac{1}{c}\right)^2+\left(c+\frac{1}{a}\right)^2+\left(b+\frac{1}{d}\right)^2+\left(d+\frac{1}{b}\right)^2}{4} \geq \frac{\left( (a+b+c+d)+(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}) \right)^2}{16}$$

Ya que sabemos el valor de $a+b+c+d=16$, aplicar la Media Aritmética, la Media Armónica de la desigualdad, es decir,

$$ \frac{a+b+c+d}{4} \geq \frac{4}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}}$$

Y a partir de ahí, ya que usted dijo que usted sólo necesita consejos.