Estoy leyendo un resumen de los geométricas invariantes teoría y me encuentro atascado cuando comenzamos alinear la acción de una expresión algebraica de grupo en una variedad. La definición dada en mis notas es que, dada una acción $\sigma: G\times X\rightarrow X$ de los algebraica de grupo $G$ línea y un paquete de $\pi:L\rightarrow X$, una linealización de $\sigma$ es una extensión de una acción $\bar{\sigma}: G\times L\rightarrow L$ que conmuta con $\sigma$ a través de la proyección de $\pi$. Entiendo que la definición, pero no veo por qué hacemos esto, de qué modo nos ayuda a construir cocientes. Cualquier visión se agradece, preferiblemente desde una perspectiva geométrica.
Respuesta
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Aquí está una cierta intuición para elegir una linealización como tengo entendido. Yo también soy sólo el aprendizaje de la materia con el fin de tomar esto con un grano de sal, pero aquí está la foto que me he metido.
Consideremos primero un grupo finito $G$ actuando muy bien en una variedad afín $X = \operatorname{Spec}A$. Aquí queremos un (supuestamente afín) cociente $X/G$ a ser un espacio cuyos puntos representan las órbitas de $G$ actuando en $X$ en una forma agradable. Por lo tanto, por definición, queremos que las funciones en $X/G$ funciones $X$ que $G$-invariante, ya que esto garantizará que sean constantes en las órbitas. Bien, a continuación, tomamos la acción natural de la $G$$A$, y escoger el $G$-funciones invariantes $A^G$ y definen $X/G := \operatorname{Spec}(A^G)$. De esta manera, las cosas funcionan muy bien.
Sin embargo, no queremos ser restringidas sólo a los cocientes de afín variedades por parte de grupos finitos. Alineaciones aparecen en la imagen cuando tratamos de tomar más general de cocientes. Son generalizaciones de la acción natural de la $G$ $A$ utilizado para definir el cociente. Aquí están los dos tipos de problemas que se alineaciones revisión.
La primera es bastante obvia. Qué vamos a hacer con una variedad proyectiva que no está determinado por un afín coordinar anillo? Nos damos cuenta de que una variedad proyectiva tiene la mejor cosa siguiente, un homogénea coordinar anillo. Explícitamente, si $X \hookrightarrow \mathbb{P}^n$ es una variedad proyectiva, podemos mirar el afín de cono $\tilde{X}$ $\mathbb{A}^{n+1}$ y considerar las coordenadas anillo de $A(\tilde{X})$. A continuación, podemos levantar el grupo de acción de $G$ $X$ a un compatibles en $\tilde{X}$. Esta es una linealización de la acción del grupo. La receta de arriba nos dice que el cociente debe ser $\tilde{X}/G = \operatorname{Spec}A(\tilde{X})^G$. Así que supongo que tal vez deberíamos definir el cociente de $X$$X/G = \operatorname{Proj}(A(\tilde{X})^G)$. Resulta que esta definición funciona muy bien, por la misma razón que la anterior. Estamos definiendo diciendo que las secciones deben ser $G$-invariante ya que queremos que el espacio sea una órbita en el espacio.
La definición anterior de $X/G$ depende de la incrustación. Explícitamente, una vez que tenemos una incrustación, podemos recuperar $A(\tilde{X})$ directamente como el anillo
$$ \bigoplus_{i} H^0(X,\mathcal{S}_X(i)) $$
y la linealización es la inducida por la acción de $G$ en este anillo que es compatible con la acción original. De manera más general, si tenemos un resumen variedad proyectiva $X$, sabemos que incrustaciones corresponden a una selección de muy amplio línea bundle $L$. Por lo tanto, para aplicar la receta para un cociente, lo que realmente estamos haciendo es recoger una muy amplia gama de paquete de $L$ y compatible con la acción de $G$ y, a continuación, definir el cociente de a $\operatorname{Proj}(A^G)$ donde
$$ A = \bigoplus_i H^0(X,L^{\otimes i}) $$
donde este anillo es exactamente el proyectiva coordinar anillo de la variedad en virtud de la incrustación dado por $L$. Aquí es donde la definición de linealización viene y cómo nos ayuda a dar un cociente.
Sin embargo, este no es el final de la historia. Estamos tomando Proj así que estamos botando algunos puntos, específicamente en aquellos puntos en los irrelevante ideal. Este proceso depende de que el anillo de $A^G$ y la calificación, por lo tanto la elección de linealización que realmente importa y diferentes alineaciones nos dan diferentes cocientes. Así que en realidad, deberíamos estar escribiendo $X//_{L}G$ o algo de ese tipo. Mucha de la teoría de GIT está construido para que nos diga exactamente lo que estamos lanzando y lo que es el sistema modular de la interpretación de $X//_{L}G$, es decir, lo que las órbitas de hacer sus puntos representan.
Por último, me voy a dar un ejemplo para mostrar por qué tenemos que tirar puntos para obtener un buen cociente incluso en el más simple de los casos posibles.
Considere la posibilidad de $\mathbb{C}^*$ que actúa sobre el avión $\mathbb{A}^2$ por el escalado. Primero echemos un vistazo a la topológico espacial en órbita y ver por qué el ingenuo cociente no es deseable desde una geometría algebraica punto de vista. Las órbitas de esta acción son la copia de $\mathbb{C}^*$ contenida en cada línea a través del origen, y de la órbita que consiste en el único punto de $0$. Por lo tanto, la topológico espacial en órbita es un muy nonseperated espacio donde el cierre de cada punto consiste en que el punto más en la órbita de las $0$. Esto es, no es intrínsecamente un agradable espacio y, de hecho, se puede demostrar que no satisfacen las propiedades atractivas queremos cocientes de satisfacer en la categoría de esquemas (por ejemplo, categórica cociente, geométrico cociente, etc). Intuitivamente, sabemos que lo que debemos hacer es tirar el origen y, a continuación, tomar el cociente para obtener la realmente buena variedad $\mathbb{P}^1$.
Ahora, vamos a intentar aplicar la maquinaria anteriormente acerca de alineaciones para tomar este cociente. Considerar el trivial de la línea de paquete de $L = \mathcal{O}_{\mathbb{A}^2}$ y elegir algunas entero $r$. Vamos a levantar la escala de la acción de $t \in \mathbb{C}^*$ $\mathbb{A}^2$ $L$multiplicando por $t^{-r}$ sobre las fibras.
A continuación, para $r < 0$ las secciones invariantes son triviales, así que conseguir un vacío cociente de manera que no es la linealización queremos. Para $r = 0$ las secciones invariantes son sólo las constantes ya que esta es la trivial levante de la acción y obtenemos un único punto, como el cociente. Esto representa la idea de que si no nos tiran el origen, pero todavía quieres un buen cociente en cierto sentido, tenemos que identificar todos los puntos, porque de la nonseparatedness se discutió anteriormente. Sin embargo, si $r > 0$, podemos obtener el graduado de anillo
$$ \bigoplus_k R_{kr} $$
donde $R_{kr}$ son polinomios homogéneos de grado $kr$ en dos variables. En particular, para $r = 1$ obtener $\mathbb{C}[x,y]$ con la habitual clasificación y, entonces, el cociente con esta linealización es dado por $\mathbb{A}^2/\mathbb{C}^* = \operatorname{Proj}\mathbb{C}[x,y] = \mathbb{P}^1$ como queríamos.
Espero que esto ayuda a tener una intuición de por qué alineaciones vienen en GIT y por qué son importantes a tener en cuenta. Como he dicho, todavía estoy aprendiendo el tema a mí, pero esto es como lo de la imagen en el papel de una linealización. Mucho de lo que he dicho anteriormente y lo que yo sé sobre el tema proviene de este muy buen artículo de Richard Thomas: http://arxiv.org/abs/math/0512411
