Que es más grande: $(\pi+1)^{\pi+1}$ o $\pi^{\pi+2}$ ?

Question

Llevo un tiempo luchando con el siguiente problema:

Que es más grande: $(\pi+1)^{\pi+1}$ o $\pi^{\pi+2}$ ?

Ni que decir tiene que las ayudas de software no están permitidas. Todos los cálculos manuales deben poder realizarse en un tiempo razonable (por ejemplo, he leído algunos soluciones a problemas similares que a mi entender incluyen el cálculo de la 113ª potencia de un número decimal, y esto no cuenta como cálculo manual "razonable").

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Probablemente inútil para la solución, pero sin embargo interesantes gráficos de $(x+1)^{x+1}-x^{x+2}$ :

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Usando el ordenador:

$(\pi+1)^{\pi+1} = 359.796$

$\pi^{\pi+2} = 359.867$

Answer 1

En mis intentos por resolver el problema del PO, me pareció útil elegir una perspectiva un poco más amplia. Empecé por definir una función $f(x)$ en el que un parámetro ajustable $a$ aparece:

$$f(x) = (x + a)log(x+a) - (x+2a)log(x)$$

En cuanto a los parámetros $a$ buscamos el valor de $x$ para lo cual $f(x)$ es igual a cero. Más adelante nos centraremos en el caso $a=1$ .

Existen soluciones racionales para $x$ y $a$ siempre que $x = n a$ , donde $n$ es un número natural. Aquí están las cuatro primeras soluciones: $ \{n = 1, x=4, a=4 \}$ ; $ \{n = 2, x= 27/8, a = 27/16 \}$ ; $ \{n=3, x = 256/81, a=256/243 \}$ ; $ \{n=4, x=3125/1024, a = 3125/4096 \}$ . Obsérvese que la solución para $n=3$ se acerca a los valores que se dan en el problema del PO: $x= \pi$ , $a=1$ .

Ahora buscamos la solución general para el caso de que $a << x$ . Ampliación de la $ log(x+a)$ término en $f(x)$ dividiendo por $a$ y reordenando los términos se llega a:

$$log(x) = 1 + \frac {1}{2}(a/x) - \frac {1}{6}(a/x)^2 + \frac {1}{12}(a/x)^3 - \frac{1}{20}(a/x)^4 + \frac {1}{30}(a/x)^5 - \cdots$$

Para eliminar el término logarítmico restante, sustituimos ambos lados de la ecuación en la función exponencial. A continuación, dividimos por $e$ . Luego tomamos el recíproco de ambos lados. Esto da como resultado:

$$z = exp \{- \frac {1}{2}pz + \frac {1}{6}(pz)^2 - \frac {1}{12}(pz)^3 + \frac {1}{20}(pz)^4 - \frac {1}{30}(pz)^5 + \cdots \}$$

Donde hemos introducido la nueva variable $z = e/x$ y el nuevo parámetro $p = a/e$ . Expandiendo la RHS en una serie de Taylor se obtiene:

$$z = 1 - \frac {1}{2}(pz) + \frac {7}{24} (pz)^2 - \frac {3}{16} (pz)^3 + \frac {743}{5760}(pz)^4 - \frac {215}{2304}(pz)^5 + \cdots$$

De este resultado obtenemos la serie de potencias para $z$ en términos de $p$ :

$$z = 1 - \frac {1}{2}p + \frac {13}{24}p^2 - \frac {3}{4}p^3 + \frac {6763}{5760}p^4 - \frac {285}{144}p^5 + \cdots$$

Convirtiendo este resultado para $z$ en una serie para $x$ da:

$$x/e = 1 + \frac {1}{2}(a/e) - \frac {7}{24}(a/e)^2 + \frac {1}{3}(a/e)^3 - \frac {911}{1920}(a/e)^4 + \frac {34}{45}(a/e)^5 - \frac {748045}{580608}(a/e)^6 + \cdots$$

Para valores pequeños de $(a/e)$ la serie converge bien, ya que los términos consecutivos se alternan en el signo mientras que los pre-factores son aproximadamente similares en magnitud. Por desgracia, para el caso $a=1$ no obtenemos la alta precisión que se requiere para responder con certeza a la pregunta del PO.

He elegido un método sencillo para mejorar la convergencia. Como se ha señalado anteriormente, existe una solución racional para $x(a)$ muy cerca $a=1$ , a saber $x =256/81, a = 256/243$ . Podemos simplemente añadir un término extra de orden $(n+1)$ a una aproximación de orden $n$ para forzar la solución a través de este valor exacto. Si hago esto, los resultados son: $x0 = 3.1380$ , $x1 = 3.1421$ , $x2 = 3.1405$ , $x3 = 3.1413$ , $x4 = 3.1409$ , $x5 = 3.1411$ , $x6 = 3.1410$ . De este conjunto de valores podemos concluir que el cero de $f(x)$ se produce muy cerca del valor $x = 3.1410$ . La incertidumbre es menor que $0.0001$ .

Un enfoque diferente es expresar la serie en forma de Padé. Este es un método elegante y eficaz para mejorar la convergencia de una serie. El $4$ -representación de Padé de parámetros para $x$ es:

$$x/e = \frac {1 + (A+B+C+D)(a/e) + (AC+AD+BD)(a/e)^2}{1 + (B+C+D)(a/e) + BD(a/e)^2} $$

Los valores de los parámetros resultan ser: $A = 1/2$ , $B = 7/12$ , $C = 47/84$ , $D = 11313/19740$ . Para mejorar la fórmula, ajustamos el parámetro menos significativo (que es $D$ ) para que la fórmula satisfaga la solución exacta $x = 256/81$ cuando $a = 256/243$ . El nuevo valor de $D$ es $0.48387$ que es algo menor que el valor original $0.57310$ . La fórmula funciona muy bien para todos $a$ en el rango $0$ a $1.05$ . Para $a=1$ obtenemos el resultado $x = 3.14105$ con una precisión de $0.00001$ .

En conclusión: para $a=1$ la solución a $f(x) = 0$ se produce para un valor de $x$ que es menor que $\pi = 3.14159$ . Por lo tanto, la función $f(x)$ es negativo para $a=1$ y $x= \pi$ .

Answer 2

Por desgracia, se necesitan agujas. Este trabajo es para $(\pi + 1)/\pi$ no $(\pi+2)/(\pi + 1)$ Si se quiere hacer más preciso, se necesita una aproximación de tercer orden.

Creo que las agujas no son necesarias . $a = \pi$ Intentamos demostrar

$\ln(a + 1)/\ln(a) < (\frac{a+1}{a})$ .

Bueno, $a \sim 355/113\sim 3$ el error en la estimación de $\pi$ es muy pequeño, no perjudicará nuestro resultado, lo hacemos $a = 3 + b$ Por lo tanto $b = 16/113\sim 1/7 \sim 0.14$

sólo lo mostramos para

$\frac{\ln(4) + \ln(1+ b/4)}{\ln(3) + \ln(1 + b/3)}$

utilizamos la expansión de Taylor en $\ln(1 + b/4)$ y $\ln(1 + b/3)$ al término de primer orden.

A continuación, se estima el error por truncamiento.

$$\vert\frac{u}{v} - \frac{u + s}{v + t}\vert \le \frac{|ut| + |vs|}{v(v+t)}$$

desde $\frac{u}{v}$ es alrededor de $4/3 < 2$ , $v$ está limitada por debajo por $1$ sabemos que el error estará acotado por

$2(|t| + |s|) \le 2(b/3)^2 \le 1/100$ .

$\ln(1 + b/4) \sim b/4 \sim 0.0354$

$\ln(1 + b/3) \sim b/3 \sim 0.0472$

$\ln(4) = 2\ln(2) \sim 1.386$

$\ln(3) \sim 1.099$

el resultado es $\frac{1.386 + 0.0354}{1.099 + 0.0472} = 1.2400 < (\pi + 1)/(\pi) = 1.32$

Por cierto,

$\log(\pi + 1)/(\log(\pi)) \sim 1.2414$

Answer 3

Sólo para tener claro lo que supondría decidir esto en base a una aproximación racional: queremos comparar la relación $$ f(x)=\frac{x^x}{(x-1)^{x+1}} $$ a la unidad en $x=(\pi + 1)$ . Su logaritmo es $$ \begin{eqnarray} g(x)=x\log x - (x+1)\log(x-1) &=& x\log x - (x+1)\log x - (x+1)\log(1-1/x) \\ &=& -\log x - (x+1)\log(1-1/x) \\ &=& -\log x + (x+1)\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}x^{-k} \\ &=& -\log x + 1 +\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{k}+\frac{1}{k+1}\right)x^{-k}, \end{eqnarray} $$ válido para $x>1$ cuya derivada es $$ g'(x)=-\frac{1}{x}-\sum_{k=2}^{\infty}\left(1+\frac{k-1}{k}\right)x^{-k}, $$ que es claramente negativo. Así que $f(x)$ es decreciente, y es menor que uno en $x=(\pi + 1)$ si es menor que uno para algún racional $(p/q) < \pi+1$ . Un buen racional subestimar para $\pi$ viene dada por $\frac{333}{106}\approx 3.14151 < \pi$ . En efecto, se comprueba numéricamente que $f(333/106 + 1) =f(439/106) < 1$ en un pequeño porcentaje: $$ f\left(\frac{439}{106}\right)^{106}=\frac{(439/106)^{439}}{(333/106)^{545}}=\frac{439^{439} 106^{106}}{333^{545}} \approx 0.98. $$ Sin embargo, a pesar de ser números enteros, los números implicados son demasiado grandes para el cálculo manual. Podemos hacerlo mejor observando la segunda derivada de $f(x)$ Es decir, es $f''(x) = (g'(x)^2 + g''(x))f(x)$ que es claramente positivo, ya que $g''(x)$ es. Por lo tanto, $f(x)$ siempre se encuentra por debajo de cualquier segmento de línea que conecta dos puntos en él. Por lo tanto, para cualquier $x < y < (\pi+1) < z$ tenemos $$ f(\pi + 1) < f(y) < \lambda f(x) + (1-\lambda) f(z), $$ donde $\lambda = (z-y)/(z-x)$ . Esta estimación es suficiente para $(x,y,z)=\left(4,\frac{439}{106},\frac{29}{7}\right)$ para lo cual $\lambda = 1/106$ , $f(x)=256/243$ y $$f(z)=7\sqrt[7]{\frac{29^{29}}{22^{36}}}=\frac{7\cdot 29^{4}}{22^{5}}\sqrt[7]{\frac{29}{22}}.$$ Poniéndolo todo junto, tenemos que demostrar que $$ \frac{128}{12879} + \frac{105\cdot 7 \cdot 29^{4}}{106\cdot 22^{5}}\sqrt[7]{\frac{29}{22}} < 1, $$ o $$ \sqrt[7]{1+\frac{7}{22}} < \frac{12751\cdot 106 \cdot 22^5}{12879 \cdot 105 \cdot 7 \cdot 29^4}. $$ Ahora, la raíz es menor que su aproximación en serie de Taylor de quinto orden: $$ \sqrt[7]{1+7x} < 1 + x - 3x^2 + 13x^3 - 65x^4 + 351x^5 = \frac{5361157}{5153632}, $$ evaluado en $x=1/22$ . Así que al final bastará con demostrar que $$ {5361157 \cdot 12879 \cdot 105 \cdot 7 \cdot 29^4} < {5153632 \cdot 12751\cdot 106 \cdot 22^5}. $$ Si bien es cierto que se trata de cifras importantes (alrededor de $20$ dígitos), son mucho más pequeños que los monstruos de mil dígitos involucrados en el enfoque que se basa sólo en la primera derivada, y creo que se podría argumentar que incluso si no se quiere a, usted podría realizar este cálculo a mano para demostrar que $(\pi+1)^{\pi+1} < \pi^{\pi+2}$ .

Answer 4

Consideremos la función f(x) =( $\frac{x+1}{x}$ )^(x+1); el signo de la derivada en [3, 4] depende de la expresión xln( $\frac{x+1}{x})$ - 1 y tanto f '(3) como f '(4) son negativos y no nulos en el intervalo. Por tanto, f es decreciente en [3, 4]. Tenemos f(3) = 3,160493827 > $\pi$ y f(4) = 3.051757813 < $\pi$ . Observamos que f(3) está más cerca de $\pi$ que f(4); calcular f(3,14) = ( $\frac{414}{314})^{4.14}$ = 3.141178 < $\pi$ . Por lo tanto, f( $\pi$ ) < $\pi$ . En consecuencia, la segunda expresión es mayor.

Answer 5

Dejemos que $x=(\pi+1)^{\pi+1}$ y $y=\pi^{\pi+2}$

Desde $\ln x=(\pi+1)ln(\pi+1)$ y $\ln y=(\pi+2)\ln\pi$ y $\ln x$ está aumentando , comparar $\ln x$ y $\ln y$

Así que dependo de una calculadora de Internet, $\ln x-\ln y<0$ y así $x<y$

Pero $\ln x-\ln y=-0.00019...$ nos dicen que es difícil de despejar de forma manual.

(Intenté probar para " $f(x)=(x+1)\ln(x+1)-(x+2)\ln x$ es decreciente y $f(\pi)<0$ "

Pero $f(3.14)>0$ (según el cálculo)