Esquema de la finitos tipo sobre un campo $K$ v. s. $K$-esquema de

Question

Estoy perdido en algunas definiciones acerca de los esquemas. Tengo algunos problemas con dos definiciones de un sistema finito de tipo más de $K$, para un alg.campo cerrado $K$.

Versión 1 (Hartshorn) : un esquema de finito de tipo más de $K$ es un esquema de $X$ junto con un morfismos $X \to K$ donde $X$ es un esquema (un localmente anillado espacio de $(X, \mathcal{O})$, con una tapa de los espectros de los anillos) y para me $K$ es el ridículo ?) esquema de $\text{Spec} K = \{ (0) \}$ con la gavilla envío de $\{(0)\}$$K$. Así que los morfismos es una función continua $f \colon X \to \{\ast\}$ irrelevante, ya que sólo uno de los posibles, y de un número finito de morfismos de poleas, que se reduce a un solo anillo hm $f^{\sharp} \colon K \to \mathcal{O}_X(X)$.

Versión 2 : un esquema de finito de tipo más de $K$ es un sistema con un número finito de la cubierta de los espectros de finitely generadas $K$-álgebras.

Por ejemplo, supongamos $X$ es afín, por lo $X = \text{Spec} R$ para algunos ring $R$, por lo que en la primera versión es la de datos de $\text{Spec} R$ con su topología y la gavilla asociados, y vamos a añadir un número finito de morfismos $K \to \mathcal{O}_X(X) = R$. En la segunda versión, es un esquema de la forma $\text{Spec}(A)$ para algunos finitely generadas $K$-álgebra $A$.

Oh, en realidad creo que esto hace de puente entre las dos nociones... Bueno... lo Siento. Sin embargo tengo otra pregunta : Mientras estudiaba algebraica de los grupos en el Borel, se considera a $K$-planes, que son casi los esquemas de finito de tipo más de $K$, en el sentido de que el espacio topológico no es la totalidad del espectro de $\text{Spec} A$, pero sólo $\text{max} A = \text{Spec}_K A$ de los máximos ideales de la finitely generadas $K$-álgebra $A$. Así que claramente el espacio topológico contiene "menos" puntos, ¿qué cambio ? Por qué lo hace ? Hay un bijection entre el$\text{max} A$$\text{Hom}_K (A,K)$, pero, ¿qué traer ? Porque perdemos la functoriality (inversa de la imagen de la máxima ideal es no máxima) y el resultado no es un esquema más...

Lo siento por esto no lineal de la pregunta, espero que sea comprensible, o voy a editar o eliminar.. Gracias por cualquier sugerencia o pieza de información !! Bogdan

P. S. En Realidad,

Answer 1

Parece que usted realmente entender muy bien la situación!
Borel definición es un híbrido entre el clásico de la geometría algebraica y el esquema de la teoría.
Surge a partir del deseo de no utilizar toda la maquinaria de los esquemas.

Técnicamente Borel puede conseguir lejos con ese método, ya que para un esquema de $X$ finitos tipo sobre un campo $K$, el subconjunto cerrado de puntos de $X_{cl} \subset X$ es muy densa en $X$.
Esto significa que el mapa de restricción $Open(X) \to Open (X_{cl}): U \mapsto U\cap X_{cl}$ es bijective.
La razón para esto es que un finitely generado álgebra $A$ $K$ es un Jacobson anillo, lo que significa que cada primer ideal en $A$ es la intersección de la máxima ideales que la contienen.
Y por Jacobson anillos en realidad tenemos functoriality: dado un morfismos $A\to B$ entre los dos Jacobson anillos, la inversa de la imagen de un ideal maximal de a $B$ es un ideal maximal de a $A$.

Pero tengo la sensación de que esta ad hoc enfoque debe ser temporal muleta. La tarde en que usted maneja completo esquema de la teoría, la mejor: les recomiendo seguir leyendo Hartshorne!