Encontrar la forma canónica de Jordan de este superior triangule $3\times3$ matriz

Question

Se supone que debo encontrar la forma canónica de Jordan de una pareja de matrices, pero yo estaba ausente por un par de conferencias.

\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}

Dado que esta es una triangular superior de la matriz, sus autovalores son las entradas de la diagonal. Por lo tanto $\lambda_{1,2}=1$$\lambda_3 = 3$, con los correspondientes vectores propios $(1,2,2)$ $(1,0,0)$ . Ahora, ¿qué? No sé cómo proceder, ni lo que significa que mi matriz es construido por bloques de Jordan.

Answer 1

Dado que este es un muy pequeño de la matriz realmente no necesitan explícitamente encontrar el Jordan en la forma a través de la rutina tediosa procedimiento. Usted sabe que el polinomio característico es $$p(x) = (x-1)^2(x-3)$$ y se puede comprobar que el polinomio mínimo es el mismo. Esto significa un par de cosas.

1. Tiene un único bloque de Jordan correspondiente a $3$. Esto es sólo $(3)$.
2. Usted no puede tener dos bloques de Jordan correspondiente a $1$ desde que haría la matriz diagonalizable (que no es desde el mínimo polinomio no dividido en distintos factores). Por lo tanto, usted debe tener un único bloque de la forma $\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$

La combinación de estos le da la forma (hasta el fin de los bloques) $$J=\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0& 0 & 3\end{pmatrix}$$

En general, para los pequeños de matrices como estos (hasta $6\times 6$) que usted puede encontrar el Jordan en la forma a través de tipos similares de análisis a partir de los hechos

1. La multiplicidad geométrica de un autovalor es el número de bloques correspondiente a la misma.
2. La multiplicidad algebraica de un autovalor es la suma del total de los tamaños de los bloques.
3. El exponente de un plazo correspondiente a un autovalor en el mínimo polinomio es el tamaño de la más grande de la cuadra.

Answer 2

La forma Canónica de Jordan de la matriz es $$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} .$$

Usted puede leer acerca de la Canónica de Jordan formas aquí. Especialmente en la sección de matrices Complejas de las propiedades enumeradas puede ayudarle a encontrar la forma Canónica de Jordan de la mayoría de las matrices.