¿Cuál es la motivación de la Teoría de la Medida cuando existe la teoría de la probabilidad?

Question

En mi época de estudiante, cuando la probabilidad enseñaron a mí me enseñaron a mí a partir de la Teoría de la Probabilidad. Sin embargo, cuando voy a mayor nivel de estudios, la probabilidad de que se enseña el uso de Teoría de la Medida. Ambos terminan en la enseñanza de las distribuciones y las expectativas, pero ¿por qué hay un enfoque diferente?

Muy interesado en saber la razón detrás de el uso de Teoría de la Medida, en lugar de la Teoría de la Probabilidad.

Lo siento si es una pregunta de noob.

Answer 1

Creo que la situación es similar a la que en el álgebra. En la escuela primaria, aprendió que $1+1=2$. Era un poco obvio, ¿verdad? En rigurosa álgebra avanzada, sin embargo, primero tiene que definir "$1$", "$2$", "$+$" y, a continuación, usted debe demostrar que $1+1=2$.

Del mismo modo, la teoría de la probabilidad en un nivel de licenciatura de los usos, de manera informal, pero intuitivamente sonido nociones, cuando la introducción de los conceptos básicos y cómo esas bases están construidas son en gran parte izquierda dice, presumiblemente debido a que el foco de atención en este nivel debe ser sobre temas más interesantes depender de estos conceptos básicos, tales como la combinatoria, la teoría de la distribución, las estadísticas, las aplicaciones prácticas, y así sucesivamente.

Sólo en un nivel más avanzado se dan cuenta de que los fundamentos de la teoría de la probabilidad son básicamente el mismo como aquellos de la teoría de la medida bajo el supuesto de que la medida de todo el espacio está normalizado a uno. Las construcciones y los resultados de la teoría de la medida ayudará a construir un riguroso y sistemático de la teoría acerca de lo que los eventos y las probabilidades de que realmente son. El punto es que en este nivel superior, no hay cabos sueltos a la izquierda e informal conceptos que estaban acostumbrados a que durante su formación de pregrado (y aceptado sin muchas reservas, ya que intuía a la derecha) se colocan sobre la roca sólida terreno teórico.

Answer 2

Teoría de la medida da un unificada de matemática y conceptual marco general de la teoría de la probabilidad.

Los dos clásicos escenarios en la teoría de la probabilidad son discretas y continuas medidas, que son tratados muy separado:

En el caso discreto, tenemos un número finito o contable espacio de $\Omega$ y asignar una probabilidad $p(x)$ a cada punto de $x \in \Omega$, por lo que la probabilidad de cualquier evento (subconjunto) $A$ es sólo $\sum_{x \in A} p(x)$.

En el caso continuo, tenemos un subconjunto $\Omega$ de espacio Euclidiano con una función de densidad de probabilidad $\rho : \Omega \to \mathbb R$. La probabilidad de un evento $A$ es $\int_A \rho(x) d x$.

Medida de la teoría de la teoría de la probabilidad es una forma de unificar y generalizar estas dos situaciones - ahora nos vamos a la probabilidad de espacio dada por una medida de espacio $(\Omega,\Sigma,\mu)$, y tomar la probabilidad de un evento $A \in \Sigma$$\int_A d\mu$. Tomando $\mu(\{x\}) = p(x)$ recuperar la discreta caso, y teniendo $\mu = \rho \lambda$ ($\lambda$ la costumbre medida de Lebesgue) recuperamos el caso continuo. Además podemos utilizar medidas más generales, por ejemplo, la suma de una distribución continua y de un punto de masa.

Answer 3

Agregar algo de sabor a "lo que se sentía intuitivamente correcto" por triple_sec: la adición de un número infinito de eventos es intuitivamente supone que el trabajo de nivel de entrada probabilidad de textos.

Ex.: El fuerte de la ley de los grandes números es decir, lanzando una infinidad de monedas justas infinitamente muchas veces produce una probabilidad de 1/2 de los jefes (colas) en una sacudida. Pero entonces uno piensa: ¿Cuál es la probabilidad de que un cierto infinitamente larga secuencia?, La secuencia de todos los jefes (HHHH...) en realidad no parecen encajar? Estándar de probabilidad luchas aquí, teoría de la medida ($\sigma$-aditividad) hermosamente direcciones de esto.