¿Cómo resolverías ese problema?
¿Cuál es el número de dígitos del número de dígitos del número de dígitos de $2014^{2014}$ ?
(por ejemplo, el número de dígitos de $12345678901234567890$ es $20$ y los números de dígitos de $20$ es $2$ y los números de dígitos de $2$ es $1$ así que el número de dígitos del número de dígitos del número de dígitos del número de dígitos de $12345678901234567890$ es $1$ )
Sabemos que el número de dígitos en la base $b$ de un entero dado $N$ es $ \lfloor\log_b (N) + 1 \rfloor $ . También sabemos que $ \log_b (n^x) = x \log_b (n)$ . Aquí, $n^x = 2014^{2014}$ y $b = 10$ . Así que podemos convertir el número ridículamente grande $2014^{2014}$ en algo más manejable usando los registros de la base $10$ . Eso le dará el número de dígitos en $2014^{2014}$ el resto debería seguir.
Actualización : Para obtener la longitud de $2014^{2014}$ en la base $10$ necesitamos $ \log_ {10}(2014^{2014})$ . Bueno, eso es igual a $2014 \cdot\underbrace { \log_ {10}(2014)}$ . Ese segundo término se maneja fácilmente en una computadora o calculadora. Ahora multiplica el término subapoyado por $2014$ agregar $1$ y tomar la parte entera de ese número final, que es el número de dígitos en $2014^{2014}$ . Aplica tu reducción de "número de dígitos" dos veces más, y tendrás tu respuesta.
Actualización 2 : OK, no puedes usar una calculadora, ¿verdad? pero tú hacer saber cuántos dígitos hay en $2014$ en sí mismo, 4, por supuesto. Eso significa que $3 \leq \log_ {10}(2014) < 4$ . Ahora $2014 \cdot 3 = 6042$ y $2014 \cdot 4 = 8056$ así que no importa de qué manera lo cortes, el "número de dígitos del número de dígitos" de $2014^{2014}$ es 4 . Ahora tienes una reducción más, creo, ¿verdad?
Pista: escríbelo como número de dígitos(número de dígitos(número de dígitos( $2014^{2014}$ ))) Como de costumbre, evalúa primero los paréntesis, así que empieza por el conjunto interno. Dado su comentario el número de dígitos de $10^n$ siendo $n+1$ lo cual es correcto, necesitas estimar el número de dígitos $2014^{2014}$ ) primero.
Si se desea determinar el número de dígitos que un determinado número entero tiene en la base diez, entonces se usaría un logaritmo. $$ \# \text { of digits of } n = \lfloor \log_ {10}(n) \rfloor + 1$$
Aquí $ \lfloor x \rfloor $ es el mayor entero más pequeño que $x$ . Por ejemplo $5$ tiene un dígito, y $0< \log_ {10}(5) < 1$ así que $ \lfloor\log_ {10}(5) \rfloor + 1= 1$ .
Puedes repetir este proceso de forma iterativa para encontrar la respuesta que buscas.
Sabemos que la respuesta es al menos $1$ (No se puede tener un número con cero dígitos. Si definimos el cero como un número de cero dígitos, entonces eso requeriría $2014^{2014} = 0$ ).
Supongamos que la respuesta es al menos $2$ . Entonces el número de dígitos del número de dígitos de $2014^{2014}$ es por lo menos $10$ . Así que el número de dígitos de $2014^{2014}$ es por lo menos $1,000,000,000$ . Pero.., $2014^{2014} < 10000^{2014}$ el último de los cuales sólo tiene $8053$ dígitos, una contradicción.
Por lo tanto, la respuesta es $1$ .
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