Esta es una pregunta sobre un ejercicio del libro de Humphreys sobre álgebras de Lie. En primer lugar un montón de definiciones y notación, ver §13 en Humphreys para más detalles.
Dejemos que $\Phi$ ser un sistema de raíces, $\Delta$ una base para $\Phi$ . El conjunto de pesos de $\Phi$ es el conjunto $\Lambda = \{\lambda : \langle \lambda, \alpha \rangle \in \mathbb{Z} \text{ for all $ \alpha \in \Phi $} \}$ donde $\langle x, y \rangle$ es la notación para los enteros de Cartan. El conjunto de pesos dominantes (wrt la base $\Delta$ ) es el conjunto
$$\Lambda^+ = \{\lambda \in \Lambda: \langle \lambda, \alpha \rangle \geq 0 \text{ for all $ \alpha \in \Delta $}\}$$
Para los pesos tenemos el orden parcial $\prec$ En $\Delta$ ( $\mu \prec \lambda$ si y sólo si $\lambda - \mu$ es una suma finita de raíces positivas).
Ahora llamamos a un subconjunto $\Pi$ de $\Lambda$ saturado si para todo $\lambda \in \Pi$ , $\alpha \in \Phi$ y enteros $i$ entre $0$ y $\langle \lambda, \alpha \rangle$ tenemos $\lambda - i\alpha \in \Pi$ . Decimos que $\Pi$ tiene el mayor peso $\lambda$ si $\lambda \in \Lambda^+$ y $\mu \prec \lambda$ para todos $\mu \in \Pi$ .
Es inmediato que $\Pi$ es cerrado bajo la acción del grupo de Weyl. Lo que quiero demostrar es que para cualquier $\lambda \in \Lambda^+$ existe un único conjunto saturado $\Pi$ con mayor peso $\lambda$ .
Algunas ideas: Todo se deduce una vez que podemos demostrar que el siguiente conjunto está saturado:
$$\Pi = \{\sigma \mu: \mu \in \Lambda^+, \mu \prec \lambda, \sigma \in W\}$$
donde $W$ es el grupo de Weyl.
Basta con demostrar que para todos los $\mu \in \Lambda^+$ , $\mu \prec \lambda$ se mantiene lo siguiente:
Para todos $\alpha \in \Phi$ y $i$ entre $0$ y $\langle \mu, \alpha \rangle$ el elemento $\mu - i\alpha$ es conjugado bajo $W$ a algunos $\mu' \in \Lambda^+$ , $\mu' \prec \lambda$ .
Puedo ver cómo esto se mantiene en el caso de que $\alpha \in \Delta$ . Ahora $\langle \lambda, \alpha \rangle \geq 0$ . Sea $0 \leq i \leq \langle \lambda, \alpha \rangle$ y $\mu = \lambda - i \alpha$ . Consideremos dos casos:
Si $0 \leq i \leq \langle \lambda, \alpha \rangle / 2$ Entonces $\mu$ es dominante, porque $\langle \mu, \alpha \rangle \geq 0$ por la condición de $i$ y porque $\langle \alpha, \beta \rangle \leq 0$ para $\beta \in \Delta$ , $\beta \neq \alpha$ .
Si $\langle \lambda, \alpha \rangle / 2 \leq i \leq \langle \lambda, \alpha \rangle$ : Ahora usando la reflexión $\sigma_\alpha$ con respecto a $\alpha$ tenemos $\sigma_\alpha(\mu) = \lambda - j \alpha$ , donde $0 \leq j \leq \langle \lambda, \alpha \rangle / 2$ . Así que hemos terminado con el primer caso.
¿Cómo se puede demostrar esto en el caso general? Creo que debería ser suficiente para hacer esto para las raíces positivas, pero no tengo idea de cómo generalizar del caso $\alpha \in \Delta$ .
