Encontrar el valor máximo sin cálculo

Question

Deje $f:(0,1]\rightarrow\mathbb{R}$$f(x)=2x(1+\sqrt{1-x^2})$. Es posible encontrar el máximo de esta función sin cálculo? Posibilidad a través de algunas series de las desigualdades?

Answer 1

$(f(x))^2 = 4x^2\left(1+\sqrt{1-x^2}\right)^2$. Deje $y = \sqrt{1-x^2} \Rightarrow x^2 = 1 - y^2 \Rightarrow (f(x))^2 = 4(1-y^2)(1+y)^2 = 4(1-y)(1+y)^3$.

Aplicar AM-GM de la desigualdad tenemos:

$2 = (1-y) + \dfrac{1+y}{3} + \dfrac{1+y}{3} + \dfrac{1+y}{3} \geq 4\sqrt[4]{\dfrac{(1-y)(1+y)^3}{27}} \Rightarrow \dfrac{16\times 27}{4^4} \geq (1-y)(1+y)^3 \Rightarrow \dfrac{27}{16} \geq (1-y)(1+y)^3 \Rightarrow \dfrac{27}{4} \geq 4(1-y)(1+y)^3 = (f(x))^2 \Rightarrow f(x) \leq \sqrt{\dfrac{27}{4}} = \dfrac{3\sqrt{3}}{2} \Rightarrow f_{\text{max}} = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$.

$=$ se produce cuando $1-y = \dfrac{1+y}{3} \Rightarrow y = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \sqrt{1-x^2} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

Answer 2

Voy a admitir su esencia misma como lo ah-eh-momento hizo aquí, pero he aquí otro enfoque:

Hacer la sustitución $x = \sin \theta$$\displaystyle \theta \in \left(0,\pi/2\right)$,

a continuación, $\displaystyle f(x) = x + 2x\sqrt{1-x^2} = 2\sin \theta + \sin (\pi - 2\theta) \le 3\sin \frac{2\theta + \pi - 2\theta}{3} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$

a partir de la Desigualdad de Jensen.