¿Qué significa REALMENTE que un espacio métrico sea compacto?

Question

He estado intentando entender el concepto de compacidad y comprenderlo intuitivamente. La definición utilizada en mi libro de texto es la definición de subcubierta finita.

Un subconjunto $K$ de un espacio métrico $X$ se dice compacto si cada cubierta abierta de $K$ contiene un finito subcubierta. Más explícitamente, el requisito es que si { $G_{\alpha}$ } es una cubierta abierta de $K$ entonces hay un número finito de índices $\alpha_1,...,\alpha_n$ tal que $$K\subset G_{\alpha_{1}}\cup\, ...\cup \, G_{\alpha_{n}}.$$

Esta definición no me resulta muy accesible, así que he estado buscando algo que me ayude a entenderla.

Hasta ahora, no me he hecho a la idea todavía, pero tienen aprendió lo siguiente:

1. La compacidad es un tipo de limitación.

2. La compacidad es una de las dos propiedades de la finitud, la otra es la discreción. (Lo he visto en la explicación sobre los foos, las criaturas que son rojas y cortas, y la palabra foo ha pasado a significar algo a la vez rojo y corto).

3. En $R^k$ la compacidad es equivalente a ser cerrado y acotado.

Así que supongo que mi pregunta es: ¿qué tiene lo compacto que llevó a los matemáticos a llamarlo "compacto"? ¿Qué tiene exactamente de compacto? ¿Qué tiene que ver con la definición (es decir, de dónde viene la definición)? Además, ¿qué significa ser discreto? Creo que me ayudaría que me dieras un ejemplo de espacios métricos que lo sean:

1. Compacto y discreto

2. Compacto pero no discreto

3. Discreto pero no compacto

4. Ni discreto o compacto

Ya he leído esta pregunta: ¿Cuál debe ser la intuición cuando se trabaja con la compacidad?

Las respuestas de este post explican muy bien por qué es difícil entender la compacidad, pero esperaba algo más concreto que me ayudara a entenderlo.

Answer 1

Consideremos los siguientes como subespacios de $\mathbb R$

1. $\{0,1\}$ o de hecho cualquier conjunto finito es compacto y discreto
2. $[0,1]$ es compacta pero no discreta.
3. $\mathbb Z$ y $\left\{\frac1n:n\in\mathbb N\,\right\}$ son discretos pero no compactos. (Pero $\left\{\frac1n:n\in\mathbb N\,\right\}\cup\{0\}$ es compacto y no discreto)
4. $(0,1)$ y $\mathbb Q$ no son ni discretos ni compactos.

Answer 2

Tus ejemplos:

1. El espacio métrico discreto sobre un conjunto finito es compacto.
2. Conjuntos cerrados acotados en $\mathbb{R}^n$ son compactas.
3. El espacio métrico discreto sobre un conjunto infinito no es compacto.
4. Muchos ejemplos en $\mathbb{R}^n$ están disponibles aquí, pero las bolas abiertas son probablemente las más fáciles de visualizar.

Si su objetivo es estudiar espacios métricos en lugar de espacios topológicos, le sugiero que tenga en cuenta las tres afirmaciones siguientes. Las dos primeras son definiciones. La tercera suele denominarse teorema (puesto que "compacto" suele definirse ya como "secuencialmente compacto" o "topológicamente compacto").

1. Un espacio métrico $X$ es completa si y sólo si cada secuencia de Cauchy en $X$ converge a un punto en $X$ .

2. Un espacio métrico $X$ está totalmente acotada si y sólo si para cada $\epsilon > 0$ existen bolas $B_1,\dots,B_n$ centrado en $x_1,\dots,x_n \in X$ y con radio como máximo $\epsilon$ tal que $B_1,\dots,B_n$ portada $X$ . Llamamos a esta colección de bolas $\epsilon$ -red para $X$ .

3. Un espacio métrico $X$ es compacta si y sólo si es completa y totalmente acotada.

En mi opinión, esta formulación es más fácil de intuir. La completitud dice que no se puede "escapar" $X$ a lo largo de una secuencia que, por lo demás, está "intentando" converger. Por ejemplo, $[0,2] \cap \mathbb{Q}$ no es compacto porque podemos "escaparlo" a lo largo de una secuencia que converge a $\sqrt{2}$ .

Se puede considerar la limitación total como una especie de combinación de limitación y "manejabilidad". He aquí tres maneras de ver esta "manejabilidad", en orden creciente de rigor:

1. Sólo hay un número finito de "direcciones independientes" en las que se puede ir en el conjunto. (En el contexto de los espacios lineales normados, la Lema de Riesz precisa esta afirmación).
2. Aunque un espacio métrico compacto "interesante" no es finito, si reducimos nuestra resolución de forma que sólo podamos distinguir puntos que sean más de $\epsilon$ separadas, entonces se vuelve finita (porque las bolas, para nuestros ojos de baja resolución, son ahora puntos).
3. Por el principio de encasillamiento, si tienes una secuencia en $X$ y un $\epsilon$ -red, entonces infinitos términos de la secuencia deben estar en una de las bolas de la $\epsilon$ -red. Así, tomando $\epsilon=1,1/2,1/3,\dots$ y diagonalizando, encontramos que cada secuencia tiene una subsecuencia de Cauchy. Si tenemos completitud, entonces esta secuencia debe ser convergente.

Answer 3

Esta es una forma en la que me gusta pensar en ello:

Supongamos que estás intentando cubrir un conjunto compacto infinito, y que realmente quieres darle una cubierta infinita que no tenga una subcubierta finita. Entonces obtienes una colección de conjuntos infinitos que parece que casi lo cubre todo - tal vez te has dejado un subconjunto contable de un conjunto incontable o algo así. Te debe quedar poco por hacer, ¿no? Pues bien, la compacidad dice que ese "poquito" hace casi todo el trabajo, en el sentido de que una vez que añades el poquito a tu pseudocubierta, ¡puedes tirar por la borda casi todo el trabajo que habías hecho antes!

Se lo explicaré con un ejemplo. Consideremos $(0,1)$ . A continuación, la colección $\{(\frac{1}{n+1},\frac{1}{n}),n \in \mathbb{N}\}$ casi cubre $(0,1)$ ¡pero te faltan los puntos finales! ¿Podemos arreglarlo sin permitir una subcubierta finita? Claro que sí, puedes añadir pequeños intervalos abiertos y mutuamente disjuntos que encierren los puntos finales y, desde luego, no puedes tener una subcubierta finita, ya que cada conjunto contiene un punto que no contiene ningún otro conjunto (es complicado escribirlo, pero los intervalos que conectan los puntos medios de los intervalos que ya has utilizado deberían servir).

Consideremos ahora $[0,1]$ . ¿Sería absurdo sugerir que no podemos hacer un truco similar? Bueno, no podemos, porque es compacto. No hay manera de que incluso la persona más inteligente del mundo podría darte una cobertura infinita realmente extraña de conjuntos abiertos que no permitiría una subcubierta finita.

Peor aún podemos añadir $0$ o $1$ de forma independiente y todavía sé listo. Tienes que añadir los dos para engañar a todos.

Answer 4

Teorema. (Heine-Borel.) Un espacio métrico es compacto si es completo y totalmente acotado.

Así que se puede considerar la compacidad como un refuerzo de la completitud en el que se añade a la mezcla una cierta condición de pequeñez (a saber, la acotación total). Bien, ¿por qué molestarse con esta extraña mezcla de completitud y pequeñez? Lo bueno de la compacidad es que es una propiedad topológica .

Answer 5

Un conjunto compacto es "lo más parecido" a un conjunto finito. Casi todas las afirmaciones sobre los conjuntos finitos son válidas para los compactos: son cerrados, acotados, etc.