Kodaira-Spencer de la Teoría y de los módulos de curvas

Question

Yo estaba buscando en un papel de Farkas y el siguiente punto confuso.

Deje $\mathscr{M}_g$ ser los módulos de la pila de suave género $g$ curvas y deje $\pi: \mathscr{C} \to \mathscr{M}_g$ ser la curva universal. Deje $\mathscr{F}$ $\Omega^1_\pi \otimes \Omega^1_\pi$ donde $\Omega^1_\pi$ es la gavilla de la relación de los diferenciales de $\pi$. A continuación, el pushforward $\pi_* \mathscr{F}$ es isomorfo $\Omega^1_{\mathscr{M}_g}$.

¿Por qué es esto cierto? Farkas dice que esto se desprende de Kodaira-Spencer teoría. Busqué en google un rato y pregunté a un par de estudiantes, pero no podía darme cuenta de esto.

Answer 1

Por el estándar de la teoría de la deformación (ver por ejemplo, Hartshorne III Ex 4.10, pero no son probablemente las mejores referencias), la tangente gavilla de $\mathscr{M}_g$$R^1\pi_{\ast}(\mathscr{C}, T_{\mathscr{C}/\mathscr{M}_g})$, que es Serre doble a $\pi_{\ast}\mathscr{F}$. La tangente gavilla es el doble de lo que quería.