Unidades y Nilpotentes

Question

Si $ua = au$ , donde $u$ es una unidad y $a$ es un nilpotente, demuestre que $u+a$ es una unidad.

He estado trabajando en este problema durante una hora que traté de construir un elemento $x \in R$ tal que $x(u+a) = 1 = (u+a)x$ . Después de probar varios elementos y manipular $ua = au$ todavía no pude encontrar ninguna pista. ¿Puede alguien darme una pista?

Answer 1

Este es un argumento bastante diferente. En primer lugar, supongamos que $R$ es conmutativo. Supongamos que $u+a$ no es una unidad. Entonces está contenido en algún ideal maximal $M\subset R$ . Desde $a$ es nilpotente, $a\in M$ (ya que $R/M$ es un campo, y cualquier elemento nilpotente de un campo es $0$ ). Así, $u=(u+a)-a\in M$ también. Pero $u$ es una unidad, por lo que no puede estar en ningún ideal maximal, y esto es una contradicción.

Si no sabes que $R$ es conmutativo, sea $S\subseteq R$ sea el subarreglo generado por $a$ , $u$ y $u^{-1}$ . Entonces $S$ es conmutativo: lo único que no es inmediato es que $u^{-1}$ se desplaza con $a$ y esto se puede demostrar de la siguiente manera: $$u^{-1}a=u^{-1}auu^{-1}=u^{-1}uau^{-1}=au^{-1}.$$

El argumento del primer párrafo muestra ahora que $u+a$ es una unidad en $S$ y, por tanto, también en $R$ .

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Este argumento puede parecer terriblemente no constructivo, debido al uso de un ideal máximo (y por lo tanto el axioma de elección) y la prueba por contradicción. Sin embargo, se puede hacer que sea constructivo y da una inversa explícita para $u+a$ en términos de una inversa para $u$ y un $n$ tal que $a^n=0$ .

En primer lugar, observamos que todo lo que se requiere realmente del ideal $M$ es que es un ideal propio que contiene $u+a$ y todos los elementos nilpotentes de $R$ . Así que podemos sustituir $M$ con el ideal $(u+a)+N$ donde $N$ es el nilradical de $R$ y utilizar el hecho de que si $I=(u+a)$ es un ideal propio en un anillo conmutativo entonces $I+N$ sigue siendo un ideal adecuado. Esto se debe a que $R/(I+N)$ es el cociente de $R/I$ por la imagen de $N$ que se encuentra en el nilradical de $R/I$ . Si $I$ es un ideal propio, entonces $R/I$ es un anillo no nulo, por lo que su nilradical es un ideal propio, por lo que $R/(I+N)$ es un anillo no nulo y $I+N$ es un ideal propio.

A continuación, reformulamos este argumento como una prueba directa en lugar de una prueba por contradicción. Dejando que $I=(u+a)$ observamos que $I+N$ no es un ideal propio ya que $u=(u+a)-a\in I+N$ y $u$ es una unidad. Es decir, un elemento nilpotente (concretamente $a$ ) es una unidad del anillo $R/I$ , lo que significa que $R/I$ es el anillo cero, lo que significa que $I=R$ , lo que significa que $u+a$ es una unidad.

Por último, perseguimos las ecuaciones explícitas que atestiguan las afirmaciones anteriores. Dejando que $v=u^{-1}$ sabemos que $v((u+a)-a)=1$ así que $$-va=1-v(u+a),$$ siendo testigo de que $a$ es una unidad mod $u+a$ (con el inverso $-v$ ). Pero $a$ es nilpotente, por lo que $a^n=0$ para algunos $n$ y por lo tanto $0$ es también una unidad mod $u+a$ . Lo vemos explícitamente elevando nuestra ecuación anterior a la $n$ de la potencia: $$0=(-v)^na^n=(1-v(u+a))^n=1-nv(u+a)+\binom{n}{2}v^2(u+a)^2+\dots+(-v)^n(u+a)^n,$$ donde cada término después del primero en el lado derecho es divisible por $u+a$ . Al calcular esto $u+a$ encontramos que $$1=(u+a)\left(nv-\binom{n}{2}v^2(u+a)+\dots-(-v)^n(u+a)^{n-1}\right)$$ y así $$-\sum_{k=1}^n \binom{n}{k}(-v)^k(u+a)^{k-1}= nv-\binom{n}{2}v^2(u+a)+\dots-(-v)^n(u+a)^{n-1}$$ es un inverso de $u+a$ .

El hecho de que esta complicada fórmula esté oculta en el argumento conceptual de un párrafo que se da al principio de esta respuesta es un buen ejemplo de lo poderosa y conveniente que puede ser la maquinaria abstracta de la teoría de los anillos.

Answer 2

Si $u=1$ entonces podría hacerlo a través de la identidad $$(1+a)(1-a+a^2-a^3+\cdots + (-1)^{n}a^n) = 1 + (-1)^{n}a^{n+1}$$ seleccionando $n$ lo suficientemente grande.

Si $uv=vu=1$ , lo hace $a$ viajar con $v$ ? Es $va$ ¿nilpotente?

Answer 3

Dejemos que $v$ sea la inversa de $u$ y supongamos que $a^2=0$ . Tenga en cuenta que $$(u+a)\cdot v(1-va)=(1+va)(1-va)=1-v^2a^2=1-0=1.$$ A ver si puedes generalizar esto.

Answer 4

Tenga en cuenta que como $u$ es una unidad y

$ua = au, \tag 1$

podemos escribir

$a = u^{-1}au, \tag 2$

y por lo tanto

$au^{-1} = u^{-1}a; \tag 3$

también, ya que $a$ es nilpotente hay algún $0 < n \in \Bbb N$ tal que

$a^n = 0, \tag 4$

y por lo tanto

$(u^{-1}a)^n = (au^{-1})^n = a^n (u^{-1})^n = (0) (u^{-1})^n = 0; \tag 5$

observamos que

$u + a = u(1 + u^{-1}a), \tag 6$

y que, en virtud de (5)

$(1 + u^{-1}a) \displaystyle \sum_0^{n - 1} (-u^{-1}a)^k = \sum_0^{n - 1} (-u^{-1}a)^k + u^{-1}a\sum_0^{n - 1} (-u^{-1}a)^k$ $= \displaystyle \sum_0^{n - 1} (-1)^k(u^{-1}a)^k + \sum_0^{n - 1} (-1)^k(u^{-1}a)^{k + 1}$ $= 1 + \displaystyle \sum_1^{n - 1} (-1)^k (u^{-1}a)^k + \sum_0^{n - 2} (-1)^k(u^{-1}a)^{k + 1} + (-1)^{n - 1}(-u^{-1}a)^n$ $= 1 + \displaystyle \sum_1^{n - 1} (-1)^k (u^{-1}a)^k + \sum_1^{n - 1} (-1)^{k - 1}(u^{-1}a)^k = 1 + \displaystyle \sum_1^{n - 1} ((-1)^k + (-1)^{k - 1})(u^{-1}a)^k = 1; \tag 7$

esto demuestra que

$(1 + u^{-1}a)^{-1} = \displaystyle \sum_0^{n - 1} (-u^{-1}a)^k, \tag 8$

y hemos demostrado una inversa explícita para $1 + u^{-1}a$ . Así, por (6),

$(u + a)^{-1} = (u(1 + u^{-1}a))^{-1} = (1 + u^{-1}a)^{-1} u^{-1}, \tag 9$

es decir, $u + a$ es una unidad.

Nota Bene: El resultado demostrado anteriormente tiene una aplicación a esta pregunta que pide que se demuestre que $I - T$ es invertible para cualquier operador lineal nilpotente $T$ . Tomando $T = a$ y $I = u$ en lo anterior produce inmediatamente la existencia de $(I - T)^{-1}$ . Fin de la nota.

Answer 5

Creo que no hay que darle demasiadas vueltas a este problema. El punto es tener alguna idea de la inversa multiplicativa.

En primer lugar, piense si $x$ es un nilpotente, ¿cuál es el inverso multiplicativo de $1+x$ . Olvidemos por un momento el álgebra conmutativa. Una opción natural es $\frac{1}{1+x}$ . Sin embargo, debe escribir $\frac{1}{1+x}$ en términos de $x$ porque esto es lo único que sabes que pertenece al anillo. Esto nos lleva a la expansión de Taylor de $$\frac{1}{1+x}= \sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}x^{k}.$$ La cuestión es que $x^{n}=0$ para algunos $n>0$ así que esta secuencia se repite. No quiero entrar en detalles de análisis aquí, pero esto debería darle una idea para tratar de verificar que $$(1+x)\Bigg(\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}x^{k}\Bigg)=1,$$ y esto es verdad.

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Ok, para el caso general, si $x^{n}=0$ para algunos $n>0$ y $y$ es una unidad, entonces $y^{-1}$ y todo el poder de $y^{-1}$ tiene sentido. Ahora, utilizamos la misma idea. La elección natural de la inversa de $(x+y)$ es seguro $\frac{1}{x+y}$ pero hay que escribirlo en términos de $x,y$ o $y^{-1}$ . De nuevo la ampliación Taylor. Tratar $y$ como constante, se expande en términos de $x$ . Puedes elegir libremente la expansión alrededor de cualquier punto (creo que incluso alrededor del infinito puede funcionar), aquí lo expando alrededor de $x=0$ que es $$\frac{1}{x+y}=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}x^{k}y^{-(k+1)}.$$ De nuevo, el $y^{-(k+1)}$ tiene sentido porque $y$ es una unidad. Por lo tanto, lo que usted debe considerar para probar es $$(x+y)\Bigg(\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}x^{k}y^{-(k+1)}\Bigg)=1.$$ Esto también es fácil de comprobar.